《金融工程数学入门》抛硬币首正面次数期望与方差计算技术问询

问题描述 #

设X为抛掷公平硬币直至首次出现正面的次数，求E[X]（期望）和var(X)（方差）。

这个问题里的X服从参数p=1/2的几何分布，我用符号计算工具Sympy实现了教材里的级数求和推导，下面是完整的解法：

完整代码实现 #

from sympy import symbols, summation, oo

# 定义求和变量k
k = symbols('k')

# 计算期望：E[X] = Σ(k*(1/2)^k)，求和区间k从1到∞
expected_value = summation(k / 2**k, (k, 1, oo))
print(f"期望E[X] = {expected_value}")

# 计算方差：Var(X) = E[X²] - (E[X])²，先求E[X²]的级数和
e_x_squared = summation(k**2 / 2**k, (k, 1, oo))
variance = e_x_squared - expected_value**2
print(f"方差Var(X) = {variance}")

结果说明 #

运行代码后会得到：

• 期望E[X] = 2：意味着平均抛掷2次硬币会首次出现正面
• 方差Var(X) = 2：反映了首次出现正面次数的离散程度

这个结果也完全符合几何分布的通用公式：对于参数为p的几何分布，期望E[X] = 1/p，方差Var(X) = (1-p)/p²，代入p=1/2就能得到相同结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Josmoor98