超椭圆曲线判别式与定义多项式判别式的关联及域扩张积分判别式计算问题
嘿，我来帮你梳理这个超椭圆曲线判别式和域扩张积分判别式的关联问题～首先先把你的问题背景再明确下，方便后续分析：
给定的设定是：
- 超椭圆曲线$C$由方程$C: y^2 = f(x)$定义，其中$f(x)$是**素数次数$p\geq3$**的多项式，定义在剩余特征为$p$的完备域$K$上
- $f(x)$在$K$上不可约，取它的一个根$\alpha$，得到域扩张$L=K(\alpha)$
- 已知曲线的判别式$\Delta(C)=\Delta(f)$，想计算域扩张$L/K$的积分判别式$\Delta(L/K)$
接下来分情况讨论核心的关联和计算方法：
首先明确几个关键判别式的基础关系
- 对于首一不可约多项式$f(x)$，它的判别式$\Delta(f)$恰好是域扩张$L/K$中幂基${1,\alpha,\alpha2,\dots,\alpha{p-1}}$的判别式，这是代数数论里的基本结论。
- 你要的积分判别式$\Delta(L/K)$，是指$L$的整数环$\mathcal{O}_L$作为$\mathcal{O}_K$-模的判别式，它和幂基判别式的关系，取决于$\mathcal{O}_K[\alpha]$是不是$L$的极大整数环$\mathcal{O}_L$。
可分扩张的核心情况（对应光滑曲线，$\Delta(C)\neq0$）
因为你提到了曲线的判别式$\Delta(C)=\Delta(f)$，默认应该是光滑超椭圆曲线，也就是$f(x)$是可分多项式（$f'\neq0$，即$\Delta(f)\neq0$），这时候$L/K$是可分扩张。
情况1：$\mathcal{O}_L = \mathcal{O}_K[\alpha]$（即幂基生成极大序）
在完备域$K$的场景下，这种情况非常常见，比如：
- 当$L/K$是无分歧扩张时：此时$f(x)$在$K$的剩余域上不可约，$\mathcal{O}_K[\alpha]$就是$L$的极大整数环
- 当$L/K$是全分歧扩张且$f(x)$是Eisenstein多项式时：比如$f(x)=x^p + a_{p-1}x^{p-1}+\dots+a_0$满足$v_K(a_0)=1$，$v_K(a_i)\geq1$（$1\leq i\leq p-1$），这时候$\mathcal{O}_K[\alpha]$也是极大整数环
这种情况下，积分判别式和曲线判别式的关系非常直接：
$$\Delta(L/K) = (-1)^{\frac{p(p-1)}{2}} \Delta(C)$$
推导逻辑是：积分判别式等于$\text{Norm}{L/K}(\mathfrak{D}{L/K})$（$\mathfrak{D}_{L/K}$是扩张的导子理想），而对于可分扩张，$\text{Norm}(f'(\alpha)) = (-1)^{\frac{p(p-1)}{2}} \Delta(f)$，同时当$\mathcal{O}_L=\mathcal{O}K[\alpha]$时，$\text{Norm}(\mathfrak{D}{L/K})=\text{Norm}(f'(\alpha))$，结合$\Delta(C)=\Delta(f)$就得到上面的等式。
情况2：$\mathcal{O}_L \neq \mathcal{O}_K[\alpha]$（幂基不生成极大序）
这种情况比较少见，但如果出现的话，需要引入conductor理想$\mathfrak{f}$（它是满足$\mathfrak{f}\mathcal{O}_L \subseteq \mathcal{O}_K[\alpha]$的最大$\mathcal{O}K$-理想），此时积分判别式的公式变为：
$$\Delta(L/K) = \frac{\Delta(C)}{\text{Norm}{L/K}(\mathfrak{f})^2}$$
简单来说，就是幂基判别式（即$\Delta(C)$）需要除以conductor理想范数的平方，得到真正的积分判别式。
纯不可分扩张的特殊情况（对应奇异曲线，$\Delta(C)=0$）
如果$K$的特征是$p$，且$f(x)$是形如$g(x^p)$的多项式，这时候$\Delta(f)=0$，曲线$C$是奇异的，$L/K$是纯不可分扩张。这种情况积分判别式的定义比较特殊（因为纯不可分扩张的微分模为0），通常不在光滑曲线的研究范围内，如果你只关注光滑曲线，可以暂时忽略这种情况。
总结一下
对于你关注的光滑超椭圆曲线场景（$\Delta(C)\neq0$），大部分完备域的常见情况里，积分判别式和曲线判别式的关系都是$\Delta(L/K) = (-1)^{\frac{p(p-1)}{2}} \Delta(C)$；只有当幂基不生成极大整数环时，才需要结合conductor理想做修正。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者did
