寻求毕达哥拉斯定理的单纯形推广的通用证明

最近我听到这么一个结论：

对于三维空间中的三角形，它的面积的平方等于其在三个两两正交平面上投影的面积的平方和。

目前我手头还没有这个结论的证明，但如果它是成立的，结合我们熟知的毕达哥拉斯定理（可以把线段看作1维单纯形），我觉得这个结论应该可以推广到更高维的单纯形上。

我猜想的推广形式应该是这样：

对于(n+1)维空间中的n维单纯形，它的n维超体积的平方等于其在(n+1)个互相正交的坐标超平面上投影的n维超体积的平方和。

如果这个推广定理能被普遍证明的话，那毕达哥拉斯定理就是n=1的特例，而我听到的那个三角形的结论就是n=2的特例。

在此恳请各位提供这个推广定理的证明思路或完整证明。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dr. Richard Klitzing