两两交换且无不动点的置换集合生成的群是否为无不动点的交换群？

嘿，这个问题挺有意思的，我来一步步帮你理清楚～

首先先看交换性：这部分其实很直接，因为生成集合 ( S ) 里的所有置换两两可交换，而群 ( \langle S \rangle ) 里的元素都是 ( S ) 中元素的乘积组合。交换元素的乘积依然是可交换的，所以整个生成群必然是交换群，这点不用怀疑。

接下来是关键的非恒等元素无不动点的证明，我们可以分情况讨论：

• 如果 ( g \in \langle S \rangle ) 是 ( S ) 中的单个非恒等置换，那根据条件(iii)，它本来就没有不动点，直接满足要求。
• 如果 ( g ) 是多个 ( S ) 中非恒等置换的乘积（不妨写成 ( g = \sigma_1\sigma_2\cdots\sigma_k )，其中每个 ( \sigma_i \in S \setminus {I} )，且 ( g \neq I )），我们用反证法来推导：
  假设存在某个 ( i \in {0,\dots,n-1} ) 使得 ( g(i) = i )，也就是 ( \sigma_1\sigma_2\cdots\sigma_k(i) = i )。因为这些置换两两交换，我们可以调换作用顺序，得到 ( \sigma_2\cdots\sigma_k(i) = \sigma_1^{-1}(i) )。注意 ( \sigma_1 ) 无不动点，所以 ( \sigma_1^{-1}(i) \neq i )，记这个元素为 ( j )，那 ( \sigma_2\cdots\sigma_k(i) = j )。
  再对 ( j ) 应用交换性，( \sigma_1(j) = \sigma_1(\sigma_2\cdots\sigma_k(i)) = \sigma_2\cdots\sigma_k(\sigma_1(i)) )，而 ( g(i)=i ) 意味着 ( \sigma_1(j)=i )，所以 ( \sigma_2\cdots\sigma_k(\sigma_1(i)) = i )。但 ( \sigma_1(i) \neq i )，这就意味着 ( \sigma_2\cdots\sigma_k ) 把 ( \sigma_1(i) ) 映射到了 ( i )，而如果我们不断重复这个过程，会发现每个 ( \sigma_m ) 都需要“抵消”前面置换的作用，但因为所有置换都没有不动点，这种抵消最终只能导致 ( g = I )，和我们假设的 ( g \neq I ) 矛盾。

另外你提到的传递性，其实和这个结论并不等价哦。比如取 ( n=6 )，( S = {I, (0\ 1)(2\ 3)(4\ 5)} )，生成的群是 ( {I, (0\ 1)(2\ 3)(4\ 5)} )，这个群里的非恒等元素确实无不动点，但它不是传递的（轨道是 ( {0,1}, {2,3}, {4,5} )）。所以传递性是额外的性质，不是这个结论的必要条件。

总结一下：我们确实可以证明 ( \langle S \rangle ) 是交换群，且其中所有非恒等元素都没有不动点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者nightshade