关于$y^2 p_{xx}(x,y)$和$y^2 p_{yy}(x,y)$的傅里叶变换求解

嘿，我来帮你梳理这两个二维傅里叶变换的求解过程！说实话我记性也不算好，但先从一维的基础性质入手，一步步推到二维应该没问题～

首先回忆一维傅里叶变换的核心性质：假设$x$是空间变量，$k$是对应的傅里叶变量，我们有：

• 二阶导数的傅里叶变换：
  $$\mathscr{F}[f''(x)]=-k^2 \hat{f}(k)$$
• 变量平方乘以函数的傅里叶变换：
  $$\mathscr{F}[x^2 u(x)] = - \hat{u}''(k)$$

如果把这两个性质结合起来，比如求$\mathscr{F}[x^2 f''(x)]$，我们可以先令$u(x)=f''(x)$，那么：
$$\mathscr{F}[x^2 f''(x)]=\mathscr{F}[x^2 u(x)] = -\hat{u}''(k)$$
而$\hat{u}$是$u(x)$的傅里叶变换，也就是：
$$\hat{u} = \mathscr{F}[u]=\mathscr{F}[f''(x)]=-k^2 \hat{f}(k)$$
把这个代入进去求二阶导，就能得到：
$$ \mathscr{F}[x^2 f''(x)] = -\frac{d^2}{dk2}\left(-k^2 \hat{f}(k)\right) = \frac{d^2}{dk2}\left(k^2 \hat{f}(k)\right) $$
用乘积法则展开这个二阶导数的话，结果是：
$$\frac{d^2}{dk2}\left(k^2 \hat{f}(k)\right) = 2\hat{f}(k) + 4k\hat{f}'(k) + k^2 \hat{f}''(k)$$

现在回到你问的二维问题，我们默认对$x$和$y$同时做傅里叶变换，设对应的傅里叶变量为$(k_x, k_y)$，$p(x,y)$的二维傅里叶变换记为$\hat{p}(k_x, k_y)$，分两种情况推导：

1. $y^2 p_{xx}(x,y)$的傅里叶变换 #

• 先看$p_{xx}(x,y)$，对$x$做傅里叶变换时，根据一维导数的性质，会得到$-k_x^2 \hat{p}(k_x, k_y)$；
• 然后乘以$y^{2$，对应到傅里叶域就是对$k_y$求二阶导数再取负（和一维的$x}2 u(x)$性质一致）。

把这两步结合起来，最终的傅里叶变换就是：
$$\mathscr{F}{x,y}[y^2 p{xx}(x,y)] = -\frac{d^2}{dk_y2}\left(-k_x^2 \hat{p}(k_x, k_y)\right) = k_x^2 \frac{d^2}{dk_y2}\hat{p}(k_x, k_y)$$

2. $y^2 p_{yy}(x,y)$的傅里叶变换 #

• 先处理$p_{yy}(x,y)$，对$y$做傅里叶变换会得到$-k_y^2 \hat{p}(k_x, k_y)$；
• 再乘以$y^2$，同样用变量平方的傅里叶变换性质，对$k_y$求二阶导数取负。

结合起来的结果是：
$$\mathscr{F}{x,y}[y^2 p{yy}(x,y)] = -\frac{d^2}{dk_y2}\left(-k_y^2 \hat{p}(k_x, k_y)\right) = \frac{d^2}{dk_y2}\left(k_y^2 \hat{p}(k_x, k_y)\right)$$
用乘积法则展开这个二阶导数，和一维的形式类似：
$$\frac{d^2}{dk_y2}\left(k_y^2 \hat{p}(k_x, k_y)\right) = 2\hat{p}(k_x, k_y) + 4k_y \frac{d}{dk_y}\hat{p}(k_x, k_y) + k_y^2 \frac{d^2}{dk_y2}\hat{p}(k_x, k_y)$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nap D. Lover