关于FGSM用于逻辑回归时softplus损失梯度符号推导的疑问

嗨，我完全理解你的困惑——这个推导差异确实容易让人卡壳，咱们一步步拆解问题出在哪：

首先得明确论文里的核心设定：你提到的那篇经典文章中，这里的损失函数是单样本损失，而非你写的带期望的总体风险。也就是说，论文里的$L(\mathbf{x},y,\mathbf{w})$其实是针对单个样本$(\mathbf{x},y)$的损失：
$$L(\mathbf{x},y,\mathbf{w}) = \log(1 + e^{{-y(\mathbf{w}}{\top}\mathbf{x}+b)})$$
而不是对整个数据分布的期望形式。

我们来重新推导单样本损失关于$\mathbf{x}$的梯度：
先计算梯度本身：
$$\nabla_{\mathbf{x}} L(\mathbf{x},y,\mathbf{w}) = \frac{-y\mathbf{w} e^{{-y(\mathbf{w}}{\top}\mathbf{x}+b)}}{1 + e^{{-y(\mathbf{w}}{\top}\mathbf{x}+b)}}$$
观察符号：分母$1 + e^{{-y(\mathbf{w}}{\top}\mathbf{x}+b)}$和指数项$e^{{-y(\mathbf{w}}{\top}\mathbf{x}+b)}$都是正数，所以整个梯度的符号完全由$-y\mathbf{w}$决定：
$$\mathrm{sgn}(\nabla_{\mathbf{x}} L(\mathbf{x},y,\mathbf{w})) = \mathrm{sgn}(-y\mathbf{w}) = -\mathrm{sgn}(y)\mathrm{sgn}(\mathbf{w})$$

那为什么论文里的结论是$\mathrm{sgn}(\nabla_{\mathbf{x}} L(\mathbf{x},y,\mathbf{w})) = -\mathrm{sgn}(\mathbf{w})$呢？这里大概率是论文有上下文的隐含设定：

• 要么是只针对正样本（$y=+1$）进行讨论，省略了$\mathrm{sgn}(y)$项；
• 要么是在对抗样本生成的场景中，默认只考虑被模型正确分类的样本，此时$y(\mathbf{w}^{\top}\mathbf{x}+b) > 0$，但这其实不影响梯度的符号项，更可能是论文为了简化表述，在上下文明确$y$符号的前提下省略了相关项。

而你推导的结果，是针对**总体风险（对全数据分布取期望）**的梯度符号，这和论文讨论的FGSM场景完全不同——FGSM是逐个样本生成对抗样本的，只需要计算单个样本的损失梯度，不需要对整个分布取期望，所以你会多出来$\mathrm{sgn}(\mathbb{E}{(\mathbf{x},y)\sim p{\rm data}} y)$这一项。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SEJ