乘积空间上Hölder函数的延拓问题咨询

各位同行好，我最近在研究乘积空间上的Hölder函数延拓问题，先把问题的前提设定整理出来，想请教大家有没有相关的思路或结论：

设$k\geq0, \alpha>0$，$\Omega\subset \mathbb{R}^{d$是一个$C}{k,\alpha}$类的凸区域。函数$f:[0,1]\times \overline{\Omega} \to \mathbb{R}$满足以下条件：

1. 对于任意$t\in[0,1]$，记$\Omega_t:={\rm supp}(f(t,\cdot))$（即$f(t,\cdot)$的支集），则$\Omega_t$是凸集；$f(t,\cdot)$在$\Omega_t$上严格大于0，且$f(t,\cdot): \Omega_t\to \mathbb{R}$是$C^{k,\alpha}$类函数；
2. 存在$\partial_t f(t,\cdot)\in C^{k,\alpha}(\Omega_t)$，使得当$\delta$足够小时，$\left|\frac{f(t+h,\cdot) - f(t,\cdot)}{h}-\partial_tf_t\right|{C^{k,\alpha}(\Omega_t\cap\Omega{t+h})}\to0$（当$h\to0$时）——注：原条件表述未完整，暂保留现有内容。

基于以上条件，我想知道是否可以将$f$延拓为$[0,1]\times \overline{\Omega}$上的$C^{k,\alpha}$类函数？如果可行的话，有没有具体的延拓方法或者相关定理可以参考？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Stephen_lamb