逐个观测连续型独立随机变量时全猜对排序位置的获胜概率求解

先把问题场景理清楚：我们从连续均匀分布$U[0,1]$（其实换成任意连续分布都不影响，因为我们只关心变量之间的相对顺序）中独立抽取$n$个随机变量，每次抽取一个就立刻观测它的值。看完$X_1$后，你得猜它在这$n$个变量里的最终排序位置；看完$X_2$后，再猜它的位置，以此类推——注意不能重复猜测同一个位置，只有当所有猜测都正确时才算获胜。

举个实际的例子：如果$n=10$，$X_1=0.7$，你可能会直觉性地猜它排第7位；但要是到观测$X_4$时，它的值也是0.7，而你之前已经用掉了前3个位置（不能重复猜位置，否则直接不可能赢），那你可能得调整策略猜它排第5位。

核心结论 #

不管你用什么自适应策略，全猜对的概率始终是$\boldsymbol{\frac{1}{n!}}$。

推导思路 #

原因其实很直白：因为变量是独立连续的，任意两个变量取值相等的概率为0，所以这$n$个变量的所有$n!$种可能排列都是等概率出现的。

你的每一次猜测行为，本质上都是在给每个观测到的变量分配一个唯一的位置，最终要匹配的是唯一的“正确排列”。不管你根据观测值怎么调整猜测策略，都没法改变“所有排列等概率”这个事实——连续分布下，单个观测值的大小没法给你提供任何关于整体排序的额外信息（比如看到$X_1=0.7$，你不知道剩下的9个变量里有多少个比它大或小，所有可能的情况都是等概率的）。

举个简单的小例子验证：当$n=2$时，不管你看到$X_1$是0.2还是0.8，你猜它排第1或第2，最终全对的概率都是$\frac{1}{2}$——因为$X_1$和$X_2$的大小关系是等概率的，你的猜测策略没法提升这个概率，和直接随机瞎蒙的结果一致。

再往深了说：哪怕你用最复杂的自适应策略，比如根据已猜测的位置、已观测的值动态调整后续猜测，本质上还是在从$n!$种可能的排列里挑选一个，而正确排列的概率始终是$\frac{1}{n!}$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Zoe Allen