关于紧空间下分离类为收敛决定类的证明疑问（Billingsley习题5.2）

我最近在做Billingsley《Convergence of Probability Measures》第一章的习题5.2时，发现这个问题之前有人讨论过，但我觉得当时的公认答案可能存在错误——有评论者指出了问题，但一直没得到回应。下面是我的思路：

设$\mathcal{A}$是一个分离类。我们要证明：若对于概率测度序列${P_n}$，存在概率测度$P$，使得对$\mathcal{A}$中所有$P$的连续集$A$，都有$P_nA\to PA$，则实际上$P_n\Rightarrow P$（依分布收敛）。

现在$S$是紧空间……

备注：内容来源于Stack Exchange，提问作者Patrick