关于n维球面Sⁿ在自由ℤ₂作用下的商空间是否同胚于n维实射影空间ℝℙⁿ的疑问

嘿，这个问题问得特别到位！直接给结论：是的，任何自由的$\mathbb{Z}_2$作用（也就是满足$F^{2(x)=x$且无不动点的映射$F:S}n\to S^n$）在$Sn$上的商空间，都和$\mathbb{R}\mathbb{P}^n$同胚。

咱慢慢拆解为什么是这样：

• 首先先明确$\mathbb{R}\mathbb{P}^{n$的标准定义：它就是$S}n$通过对径映射（把每个点$x$映射到$-x$）做商得到的空间，这个对径映射本身就是一个典型的自由$\mathbb{Z}_2$作用。
• 现在来看任意的自由对合$F$：首先，$S^{n$是道路连通、局部道路连通且单连通的（当$n\geq2$时；$n=1$时$S}1$的基本群是$\mathbb{Z}$，但自由$\mathbb{Z}_2$作用对应的覆盖映射依然满足覆盖空间的分类条件）。
• 从覆盖空间的角度说，$S^{n$是商空间$S}n/\sim_F$（这里$\sim_F$是$x\sim F(x)$的等价关系）的通用覆盖空间，覆盖变换群正好是$\mathbb{Z}_2$；而$\mathbb{R}\mathbb{P}^{n$的通用覆盖也是$S}n$，覆盖变换群同样是$\mathbb{Z}_2$。根据覆盖空间的分类定理，两个具有相同通用覆盖和相同覆盖变换群的道路连通、局部道路连通空间，必然是同胚的。
• 换个更直观的角度，对于低维的情况验证一下：比如$n=1$时，$S^{1$上的自由对合只能是旋转180度，商空间就是$S}1$，而$\mathbb{R}\mathbb{P}^{1$本身就同胚于$S}1$；$n=2$时，不管是对径映射还是其他自由对合（比如把球面“翻转”的映射），商空间都是实射影平面$\mathbb{R}\mathbb{P}^2$——这是因为2维紧连通流形的分类里，实射影平面是唯一具有$\mathbb{Z}_2$基本群的定向不可闭曲面，而自由$\mathbb{Z}_2$作用的商恰好满足这个性质。

核心点在于$S^{n$的特殊拓扑性质：它是紧连通的流形，自由$\mathbb{Z}_2$作用下的商空间也是紧连通流形，而这类商空间的拓扑不变量（比如同调群、基本群）和$\mathbb{R}\mathbb{P}}n$完全一致，所以它们必然同胚。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者JMK