通过与另一系统对比分析渐近稳定性

你提的这个问题很有意思，咱们一步步拆解来看。首先先明确问题背景：

考虑如下形式的非线性系统：
$$ \dot{x} = f(x)x, $$
其中 $x \in \mathbb{R}^n$，$f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^{n\times n}$。已知存在一个同维度的渐近稳定线性系统 $\dot{y} = Ay$，满足当 $x = y$ 时，有
$$\Vert \dot{x} \Vert \leq \Vert \dot{y} \Vert $$
问题是：这是否能推导出该非线性系统也是渐近稳定的？

你的猜测完全正确，答案是否定的——非线性系统不一定是渐近稳定的，我给你举个一维的直观例子就能说明：

假设我们取一维场景（$n=1$），简化分析：

• 线性系统选 $\dot{y} = -y$，这是典型的渐近稳定系统，所有轨迹都会指数收敛到原点。
• 非线性系统设为 $\dot{x} = f(x)x$，其中 $f(x)$ 定义为：
  $$
  f(x) = \begin{cases}
  -0.5, & x > 0 \
  0, & x \leq 0
  \end{cases}
  $$

先验证题目中的范数条件：

• 当 $x=y>0$ 时，$\dot{x}=-0.5x$，$\dot{y}=-x$，显然 $|\dot{x}|=0.5|x| \leq |\dot{y}|=|x|$，满足条件；
• 当 $x=y \leq0$ 时，$\dot{x}=0$，$\dot{y}=-y \geq0$，$|\dot{x}|=0 \leq |\dot{y}|=|y|$，也满足条件。

但看这个非线性系统的稳定性：

• 若初始状态 $x(0)=a_0>0$，轨迹是 $x(t)=a_0 e^{-0.5t}$，确实会收敛到0；
• 可如果初始状态 $x(0)=a_0<0$，$\dot{x}=0$，轨迹会一直停留在 $a_0$ 这个非零点，完全不会收敛到原点！

这个例子直接证明了：哪怕满足你说的导数范数约束，非线性系统也可能失去渐近稳定性。核心原因就是非线性项的状态依赖性——线性系统的动态是全局一致的，而非线性系统可以在某些状态区域“改变规则”，比如上面例子里的负半轴区域，系统直接停止收敛，而线性系统的渐近稳定性无法约束这种局部的非线性行为。

你提到的“初始状态相同但轨迹可能分道扬镳”的思路非常准确，线性系统的轨迹收敛性只代表它自己的行为，没法保证非线性系统的每一条轨迹都会跟着它收敛，非线性项的存在会带来很多线性系统没有的“意外”情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Trb2