关于$SL(2,\mathbb Z)$抽象群表示的关系完备性问询

嘿，这个问题问得特别到位！我来一步步给你拆解清楚：

核心结论先给你 #

是的，这个抽象表示$\langle S,T \mid S^4 = 1, (ST)^3 = 1 \rangle$对于$SL(2,\mathbb{Z})$来说确实是关系完备的——也就是说，$SL(2,\mathbb{Z})$和这个定义的抽象群是同构的，所有群结构的性质都能从这组关系推导出来，包括你提到的$S^2 = -\mathrm{Id}$是中心元这一点。

怎么证明这个完备性？ #

我们可以通过群同态的「满射+单射」双验证来搞定：

1. 构造满同态
   先回忆我们常用的生成矩阵：$S = \begin{pmatrix}0 & -1 \ 1 & 0\end{pmatrix}$，$T = \begin{pmatrix}1 & 1 \ 0 & 1\end{pmatrix}$，这两个矩阵确实生成了$SL(2,\mathbb{Z})$，而且直接计算就能验证它们满足抽象表示里的关系：

   • $S^4 = (S²⁾2 = (-\mathrm{Id})^2 = \mathrm{Id}$，符合$S^4=1$；
   • 计算$ST = \begin{pmatrix}0 & -1 \ 1 & 1\end{pmatrix}$，三次方后确实是$\mathrm{Id}$，满足$(ST)^3=1$。
     所以我们可以定义一个从抽象群$G = \langle s,t \mid s^4=1, (st)^3=1 \rangle$到$SL(2,\mathbb{Z})$的满同态$\phi$：把$s$映射到$S$，$t$映射到$T$。这个同态存在是因为矩阵满足抽象群的关系，而满是因为$S$和$T$生成$SL(2,\mathbb{Z})$。

2. 证明同态是单射（核平凡）
   现在要证明$\phi$的核只有单位元，也就是抽象群$G$里的元素如果被映射到$SL(2,\mathbb{Z})$的单位元，那它本身就是$G$的单位元。

   • 先看$G$里的元素$z = s^{2$，它的阶是2（因为$s}4=1$），而且是中心元：我们可以用$(st)^3=1$推导，比如计算$t z t^{-1}$，结合关系能得出它等于$z$，意味着$z$和$t$交换；和$s$交换是显然的，所以$z$和$G$里所有元素都交换，是中心元。
   • 考虑商群$G/\langle z \rangle$，它的表示就是$\langle \overline{s}, \overline{t} \mid \overline{s}^2=1, (\overline{s}\overline{t})^3=1 \rangle$——这正是$PSL(2,\mathbb{Z})$的标准表示，而$PSL(2,\mathbb{Z})$是$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$和$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$的自由积，这个表示是完备的。
   • 同时，$SL(2,\mathbb{Z})/\langle -\mathrm{Id} \rangle = PSL(2,\mathbb{Z})$，所以$\phi$诱导出商群的同态$\overline{\phi}: G/\langle z \rangle \to PSL(2,\mathbb{Z})$，这个同态是同构（因为两边都是PSL(2,Z)，而且生成元对应）。
   • 现在假设$g \in \ker\phi$，那么$\overline{g} \in \ker\overline{\phi}$，而$\overline{\phi}$是同构，所以$\overline{g}$是商群的单位元，即$g \in \langle z \rangle$，也就是$g$要么是1，要么是$z$。但$\phi(z) = S^2 = -\mathrm{Id} \neq \mathrm{Id}$，所以$z$不在核里，只有$g=1$在核里。
   • 这样$\phi$就是同构，说明$G \cong SL(2,\mathbb{Z})$，原来的抽象表示是完备的。

关于你提到的中心元问题 #

你说在矩阵里看到$S^{2=-\mathrm{Id}$是中心元，这完全可以从抽象表示推导出来：刚才我们已经在$G$里证明了$z=s}2$是中心元，对应到矩阵就是$-\mathrm{Id}$，不需要依赖矩阵的具体形式，纯靠群关系就能得出这个结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mvphys