关于BPI与AC之间满足特定条件的自然原理及候选者的咨询

好问题！这是集合论里一个相当有意思的研究方向——毕竟BPI（布尔素理想定理）和AC（选择公理）的强度差距之间，确实藏着不少值得深挖的中间原理，满足AC ⇒ 原理 ⇒ BPI，且严格弱于AC、严格强于BPI。

已被证实的自然中间原理 #

这里列举几个学界广泛研究的例子：

• “每个集合上的超滤都存在可数完备的精化”：AC下我们可以直接构造出这样的精化，因此这个原理被AC蕴含；同时它严格强于BPI——BPI仅保证超滤的存在性，不涉及这类结构性质，且存在BPI成立但该原理不成立的集合论模型，说明它严格弱于AC。
• “所有紧正则空间的乘积是紧的”：我们知道紧Hausdorff空间的乘积紧性等价于BPI，而紧正则空间的乘积紧性是更强的条件：AC下Tychonoff定理对所有紧空间成立，因此该原理被AC蕴含；同时存在模型中BPI成立但紧正则空间的乘积不一定紧，证明了它严格强于BPI、严格弱于AC。
• “含单位元的交换环上存在有限生成的极大理想”：AC下借助Zorn引理可直接构造这类极大理想，该原理蕴含BPI（因为BPI等价于交换环上极大理想的存在性）；而在部分BPI成立但AC不成立的模型中，存在交换环的极大理想并非有限生成，因此该原理严格弱于AC。

值得关注的候选原理 #

还有一些被学者提出、尚未完全证实的研究方向：

• “每个集合上的滤子可扩展为均匀超滤子”：均匀超滤子指超滤中所有元素的基数与原集合相等。AC下可构造这类超滤，但BPI仅保证超滤存在，不保证均匀性。目前学界仍在研究该原理是否严格弱于AC、严格强于BPI。
• “无限集合X的幂集P(X)上，每个素理想可扩展为完全素理想”：该原理被AC蕴含，且显然蕴含BPI，但目前尚未找到明确的集合论模型证明它严格弱于AC，是一个待解决的问题。

需要注意的是，像依赖选择公理（DC）、线性序原理（LO）这类常见的弱选择公理，和BPI是不可比的——它们既不蕴含BPI，也不被BPI蕴含，因此不属于我们要找的范畴。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Rodrigo Nicolau Almeida