用分析方法求序列$a_n = n\cdot 2^n - n!$的上确界

我来一步步用纯分析的方法推导这个序列的上确界，不用数值试算也能搞清楚～

要找序列的上确界，首先可以通过判断相邻项的增减性来定位极值点。我们先计算相邻两项的差$a_{n+1} - a_n$，看看什么时候序列递增、什么时候递减：

$$
\begin{split}
a_{n+1} - a_n & = (n+1)\cdot 2^{n+1} - (n+1)! - n\cdot 2^n + n! \
& = n\cdot 2^{n+1} + 2^{n+1} - (n+1)n! - n\cdot 2^n + n! \
& = n\cdot 2^n(2-1) + 2^{n+1} + n!(-n-1+1) \
& = n\cdot 2^n + 2^{n+1} - n\cdot n! \
& = 2^n(n+2) - n\cdot n!
\end{split}
$$

接下来我们只需要判断这个差值的正负：当$a_{n+1}-a_n>0$时，序列递增；当差值<0时，序列递减；等于0时两项相等。

分情况讨论n的取值： #

• n=1：左边$2^1(1+2)=6$，右边$1\cdot1!=1$，6>1，差值为正，序列递增；
• n=2：左边$2^2(2+2)=16$，右边$2\cdot2!=4$，16>4，差值为正，继续递增；
• n=3：左边$2^3(3+2)=40$，右边$3\cdot3!=18$，40>18，差值为正，仍在递增；
• n=4：左边$2^4(4+2)=96$，右边$4\cdot4!=96$，两边相等，所以$a_5=a_4$；
• n=5：左边$2^5(5+2)=224$，右边$5\cdot5!=600$，224<600，差值为负，序列开始递减；

证明n≥5时序列持续递减： #

我们用数学归纳法来验证当n≥5时，$2^n(n+2) < n\cdot n!$恒成立：

1. 基例n=5：刚才已经算出224<600，成立；
2. 归纳假设：假设当n=k≥5时，$2^k(k+2) < k\cdot k!$成立；
3. 归纳步骤：当n=k+1时，左边为$2^{{k+1}(k+3)=2\cdot2}k(k+3)$，右边为$(k+1)\cdot(k+1)!=(k+1)^2\cdot k!$。根据归纳假设，$2^k < \frac{k\cdot k!}{k+2}$，代入左边得：
   $$
   左边 < 2\cdot\frac{k\cdot k!}{k+2}\cdot(k+3) = \frac{2k(k+3)}{k+2}\cdot k!
   $$
   现在只需证明$\frac{2k(k+3)}{k+2} < (k+1)^2$：
   展开右边得$(k+1)^2=k2+2k+1$，将两边做差（通分后看分子）：
   $$
   (k^2+2k+1)(k+2) - 2k(k+3) = k^3+4k2+5k+2 - 2k^2-6k = k^3+2k2 -k +2
   $$
   当k≥5时，$k^3$的增长远大于k，所以这个差值显然为正，即$\frac{2k(k+3)}{k+2} < (k+1)^2$成立。因此左边<右边，归纳得证。

这说明从n=5开始，序列会一直递减，而且因为阶乘的增长速度远快于指数项$n\cdot2^n$，后续的$a_n$会越来越小，甚至变成负数。

结论： #

序列在n=1到n=4时递增，n=4和n=5时取值相等，之后持续递减。计算这两项的值：
$$
a_4=4\cdot2^4 -4!=64-24=40, \quad a_5=5\cdot2^5 -5!=160-120=40
$$
这是序列能取到的最大值，而上确界就是这个最大值（因为上确界是最小的上界，而40是序列实际能达到的最大数值），所以$\sup{a_n}=40$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Gerr