采用分离变量法求解拉普拉斯方程边值问题的求助问询

我现在卡在一个用分离变量法解拉普拉斯方程边值问题的地方了，实在摸不着头脑，有没有大佬能帮忙指点一下？

我要解决的目标问题是这个二维拉普拉斯方程边值问题：
$$u_{xx}+u_{yy}=0, \ x\in[0,2\pi], \ y\in[0,2\pi]$$
对应的边界条件如下：
$$u(x,0)=\cos x, \ x\in[0,2\pi]$$
$$u(x,2\pi)=1,\ x\in[0,2\pi]$$
$$u(0,y)=u(2\pi,y)=1,\ y\in [0,2\pi]$$

目前我还没找到这个问题的入手点，但我会解另外一个类似的分离变量法问题，先列出来给大家参考，看看能不能找到和目标问题的关联：

第一个我能搞定的问题是：求解拉普拉斯方程 $\nabla^2U=0$，边界条件为 $U_x(0,y)=U_x(L,y)=U(x,L)=0$，以及 $U_y(x,0)=1-\cos\frac{\pi x}L$。
这个问题我用分离变量法的思路是，设 $U(x,y)=X(x)Y(y)$，代入拉普拉斯方程后得到 $YX^{{\prime\prime}+XY}{\prime\prime}=0$，接着把方程变形为分离变量的形式：
$$\frac1XX^{{\prime\prime}=-\frac1YY}{\prime\prime}=-\lambda$$
这里的 $\lambda$ 是分离常数，之后就可以分别求解关于X(x)和Y(y)的常微分方程，再结合给出的边界条件确定特征值和各个常数，就能得到解了。

（原内容后面还有部分截断的内容，我就不继续补了，主要是想把我已掌握的解法例子摆出来，看看能不能给解决目标问题提供点思路）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者HarrisModel