正定矩阵相关迹不等式的证明问询

首先得给你泼个小冷水——这个结论其实是不成立的，哪怕补充了每个对角元$P_{ii} > Q_{ii}$的条件，也存在反例能推翻它。

我给你构造一个具体的例子：

• 取3阶正定矩阵$P = \begin{pmatrix}3&0&0\0&3&0\0&0&3\end{pmatrix}$，显然它的每个对角元都是3；
• 再取3阶正定矩阵$Q = \begin{pmatrix}2&1.5&1.5\1.5&2&1.5\1.5&1.5&2\end{pmatrix}$，它的对角元都是2，满足$P_{ii} > Q_{ii}$，而且Q是正定的（特征值为5，0.5，0.5，全为正）；
• 现在看矩阵$P-Q = \begin{pmatrix}1&-1.5&-1.5\-1.5&1&-1.5\-1.5&-1.5&1\end{pmatrix}$，这个矩阵的行列式是-12.5<0，迹是3>0，说明它有两个正特征值和一个负特征值。假设$v$是对应负特征值的单位特征向量，那么$v^T(P-Q)v < 0$，也就是$v^T P v < v^T Q v$。

接下来取$A = vv^T$（这是一个秩1的矩阵），计算两个迹：

• $tr(APA^T) = tr(vv^T P vv^T) = tr((v^T P v) vv^T) = v^T P v \cdot tr(vv^T) = v^T P v$（因为$tr(vv^T)=1$）；
• 同理$tr(AQA^T) = v^T Q v$。

根据之前的结论，$v^T P v < v^T Q v$，也就是$tr(APA^T) < tr(AQA^T)$，直接和你猜想的结论相反。

为什么会这样呢？核心原因是：P的对角元都大于Q的对角元，不代表P-Q是正定矩阵——它可能是不定矩阵（既有正特征值也有负特征值）。当A的选取刚好“放大”了P-Q中负的部分时，就会出现迹的不等式反转的情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者zvi