关于有限群同构于一般线性群子群的证明思路问询

你的问题梳理 #

我需要证明：若群$G$是有限群，则对任意域$\mathbb{F}$，存在$\mathbb{F}$上的有限维向量空间$V$，使得$G$同构于$\text{GL}(V)$的一个子群。

我想到应该取向量空间$V = \mathbb{F}^n$，然后尝试用第一同构定理，但找不到能和$G$建立同构的$\text{GL}(V)$子群。

我这个思路对吗？如果对的话接下来该怎么做？如果不对，正确的解决方法是什么？欢迎任何想法！

解答思路 #

你的方向完全正确！选$V=\mathbb{F}^n$（这里$n$就是有限群$G$的阶）是核心，关键是要构造一个单的群同态$G \to \text{GL}(V)$——根据第一同构定理，单同态的像就是$\text{GL}(V)$的子群，且和$G$同构。具体步骤如下：

1. 构造向量空间的基
   设$|G|=n$，取$V=\mathbb{F}^n$的一组基为${e_g \mid g \in G}$，其中每个$e_g$是标准单位向量：对应$g$的位置为1，其余位置为0。

2. 定义群作用诱导的线性变换
   对每个元素$h \in G$，定义线性变换$\rho(h): V \to V$：
   $$\rho(h)(e_g) = e_{hg}$$
   简单说就是把基向量$e_g$映射到$e_{hg}$，再通过线性扩张覆盖整个$V$。

3. 验证$\rho$是群同态

   • 单位元：$\rho(e_G)(e_g)=e_{e_G g}=e_g$，即$\rho(e_G)$是恒等变换，对应$\text{GL}(V)$的单位元。
   • 同态性：对任意$h_1,h_2 \in G$，$\rho(h_1h_2)(e_g)=e_{h_1h_2 g}=e_{h_1(h_2 g)}=\rho(h_1)(e_{h_2 g})=\rho(h_1)(\rho(h_2)(e_g))$，所以$\rho(h_1h_2)=\rho(h_1)\rho(h_2)$。
   • 逆元：$\rho(h^{{-1})(\rho(h)(e_g))=\rho(h}{-1})(e_{hg})=e_{h^{{-1}hg}=e_g$，所以$\rho(h}{-1})$是$\rho(h)$的逆变换，因此$\rho(h)$属于$\text{GL}(V)$。

4. 验证$\rho$是单射（忠实表示）
   假设$\rho(h)$是恒等变换，那么对所有$g \in G$，$e_{hg}=e_g$，这意味着$hg=g$对任意$g \in G$，两边右乘$g^{-1}$得$h=e_G$，即$\ker\rho={e_G}$。

根据第一同构定理，$G \cong \text{Im}\rho$，而$\text{Im}\rho$是$\text{GL}(V)$的子群，这就完成了证明。

补充说明 #

• 这个构造叫群的左正则表示，不管域$\mathbb{F}$的特征是什么，它都是忠实的（单同态），完美满足题目对任意域的要求。
• 你之前卡住的点应该是没把$G$的元素和向量空间的基对应起来，从而没法定义合适的线性变换——把群元素作为基的“标签”，用群乘法诱导基的置换，这是关键思路。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者NivGeva