多函数最小值复合函数的约束区域二重积分及曲面平均高度求解问询

我最近一直在尝试计算由多个函数组成的曲面的平均高度，但由于自身微积分知识有限，始终没能推进下去。

[Desmos页面截图：高亮显示了本次计算感兴趣的区域]

我想针对所有独立函数的最小值进行积分，本质上就是对这类最小值复合函数做二重积分。不过我觉得更棘手的是如何定义这个积分的边界：我希望在明确的x和y区间内积分（先暂时用占位区间举例：$x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$，$y \in [0, \pi]$），但同时还要把积分范围限定在一个不太容易用解析式定义的区域里。就像你在上面的截图里看到的，这个区……

备注：内容来源于stack exchange，提问作者anonymous user