满秩汉克尔矩阵对应的特定线性方程组解的存在性问询

咱们先把问题的背景条件梳理清楚：
给定正整数$k\in\mathbb{N}$，素数$p$，列向量$s = (s_1, s_2,..., s_{2k+1})\in \mathbb{M}{(2k+1)\times1}(\mathbb{F}p)$，由$s$生成的汉克尔矩阵$H$定义为：
$$
H = \begin{pmatrix}
s_1 & s_2 & \cdots & s{k+1} \
s_2 & s_3 & \cdots & s{k+2} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
s_{k+1} & s_{k+2} & \cdots & s_{2k+1}
\end{pmatrix}.
$$
已知$H$是满秩的，也就是它的秩为$k+1$，这意味着$H$在有限域$\mathbb{F}_p$上是可逆矩阵。

接下来是你的问题：是否存在行向量$c = (n_1,n_2,\dots,n_{k+1})\in\mathbb{M}{1\times(k+1)}(\mathbb{F}p)$和列向量$b = (b_1,b_2,\dots, b{k+1})^T\in\mathbb{M}{(k+1)\times1}(\mathbb{F}_p)$，使得以下方程组成立：

注：原问题中的方程组内容未完整给出，这里基于现有背景提供分析思路

从满秩汉克尔矩阵的核心性质出发，咱们可以做这样的分析：

• 因为$H$可逆，对于任何涉及$H$的线性约束，比如形如$Hc^T = d$或者$cH = e$的方程，都能直接通过逆矩阵求出唯一的$c$：$c^T = H^{-1}d$或者$c = eH^{-1}$；
• 如果是同时涉及$c$和$b$的方程组，只要约束条件没有矛盾，我们可以灵活处理：比如先任意选定一个$b$，再利用$H$的可逆性解出对应的$c$；或者反过来先固定$c$，再求出符合条件的$b$。

不过因为原方程组的具体形式不完整，没法给出确切的存在性结论，但从满秩矩阵的可逆性这个关键前提来看，只要方程组的结构是合理的（不存在互相矛盾的约束），满足条件的$c$和$b$大概率是存在的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Youzhe Heng