非正整数双阶乘的定义及复数域双阶乘公式的推导疑问

最近我在研究双阶乘的相关内容，先从自然数的基础定义入手：
自然数的双阶乘满足递归关系：
$$ n!!=n(n-2)!! , 1!!=0!!=1$$

基于这个递归定义，我们可以推导出自然数中偶数和奇数的双阶乘展开式：
对于 $n\in \mathbb{N}$（自然数集），有：
$$ (2n)!!=2^n n! , (2n+1)!!=\frac{(2n+1)!}{2^n n!}$$

不过之后我发现了适用于复数域的双阶乘公式，形式是这样的：
对于 $z\in \mathbb{C}$（复数集），
$$z!!=2^{\frac{z}{2}} \Gamma\left(\frac{z}{2}+1 \right) \left(\frac{\pi}{2}\right)^{\frac{\cos(\pi z)-1}{4}} $$

我一直尝试搞明白这个复数域公式是怎么来的，还试着把自然数的双阶乘形式套进一个通用表达式里：
$$ z!!=2^{\frac{z}{2}} \Gamma\left(\frac{z}{2}+1 \right) \left(\frac{\pi}{2}\right)^{\frac{1}{2}f(z)}$$
其中分段函数$f(z)$定义为：
$$f(z) = \begin{cases} 0 &\mathrm{if} \space z \space \mathrm{is\space even} \ -1 &\mathrm{if} \space z \space \mathrm{is\space odd} \end{cases}$$

但我还是没完全理清复数域公式的推导逻辑，想请教大家这个公式是如何推导出来的，以及它和自然数双阶乘定义的衔接点在哪里？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Faoler