麦克劳林级数求解微分方程的正确性验证

我在进阶数学的专项试卷里遇到了这个问题，已经写出了完整的解答过程，但想确认自己推导的麦克劳林级数是否正确，麻烦帮忙看看，谢谢！

题目信息 #

已知 (x = \cos \theta)，(y = \cos 9\theta)，且满足如下微分方程：
$$(1 - x^2) \frac{d^2y}{dx2} - x \frac{dy}{dx} +81y = 0$$

问题a #

需要证明：
$$(1 - x^2) \frac{d^{n+2}y}{dx{n+2}} - x(2n + 1) \frac{d^{n+1}y}{dx{n+1}} - (n^2 - 81) \frac{d^ny}{dxn} = 0$$

问题b #

记 (\frac{d^ny}{dxn}) 为 (f^n)，推导得出 (f^{n + 2}(0) = (n^2 - 81)f^n(0))，并利用麦克劳林定理将 (y) 表示为 (x) 的多项式。

我的推导过程 #

a). 用莱布尼茨定理对原微分方程进行求导...（原内容未完整展示）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nookes