如何从流形上向量场作为$C^\infty(M)$代数导子的定义出发，在局部图卡中寻找向量场的基？

好问题！我当初学流形向量场的时候也纠结过这个——明明导子的定义看起来那么抽象，怎么就和我们熟悉的偏导数基${\frac{\partial}{\partial x_i}}$联系起来了？别急，我们完全从导子的核心性质（Leibniz法则）出发，在局部图卡$(U,\varphi)$里把这个逻辑理清楚。

首先，先把局部的场景明确下来：在图卡$U$上，任何光滑函数$f\in C^{\infty(U)$都可以通过坐标映射$\varphi$“转成”欧氏空间$\mathbb{R}}n$上的光滑函数$\tilde{f}=f\circ\varphi^{{-1}$，而$U$上的坐标函数$x_i$其实就是$\mathbb{R}}n$第$i$个标准坐标$r_i$的拉回，也就是$x_i(p)=r_i(\varphi(p))$。

第一步：先定义我们的“候选基”——坐标偏导子 #

对于每个$i=1,2,...,n$，我们先给$U$上的光滑函数定义一个映射$\frac{\partial}{\partial x_i}:C^\infty(U)\to C^\infty(U)$，它的作用规则是：
$$\left(\frac{\partial}{\partial x_i}f\right)(p) = \frac{\partial\tilde{f}}{\partial r_i}(\varphi(p))$$
简单说就是：把$f$拉回欧氏空间求第$i$个偏导，再映射回$U$上的点$p$。

首先得确认这个映射是导子（满足Leibniz法则）：因为欧氏空间里的偏导数本身就满足$\frac{\partial(\tilde{f}\tilde{g})}{\partial r_i}=\frac{\partial\tilde{f}}{\partial r_i}\tilde{g}+\tilde{f}\frac{\partial\tilde{g}}{\partial r_i}$，拉回之后自然就有$\frac{\partial}{\partial x_i}(fg)=\left(\frac{\partial}{\partial x_i}f\right)g+f\left(\frac{\partial}{\partial x_i}g\right)$，完美符合导子的定义。

第二步：证明这些候选基是线性无关的 #

假设存在$U$上的光滑函数$a_1,a_2,...,a_n$，使得$\sum_{i=1}^n a_i\frac{\partial}{\partial x_i}=0$（这里的0是零导子，作用在任何函数上都输出0函数）。

我们把这个等式作用在坐标函数$x_j$上试试：
$$\left(\sum_{i=1}^n a_i\frac{\partial}{\partial x_i}\right)x_j = \sum_{i=1}^n a_i \cdot \frac{\partial x_j}{\partial x_i}$$
而$\frac{\partial x_j}{\partial x_i}$就是克罗内克符号$\delta_{ij}$（只有$i=j$时为1，其余为0），所以这个和直接等于$a_j$。

但零导子作用在$x_j$上结果是0，所以$a_j=0$对所有$j$都成立——这就说明${\frac{\partial}{\partial x_i}}$是$C^\infty(U)$-线性无关的。

第三步：证明任何导子都能表示成它们的线性组合 #

现在任取$U$上的一个导子$X$（也就是$U$上的向量场），我们要找到$U$上的光滑函数$X_1,X_2,...,X_n$，让$X=\sum_{i=1}^n X_i\frac{\partial}{\partial x_i}$。

怎么找这些$X_i$？其实非常自然：定义$X_i=X(x_i)$——也就是导子$X$作用在第$i$个坐标函数上得到的光滑函数。接下来我们要验证，这个组合确实等于$X$，也就是对任意$f\in C^\infty(U)$，都有：
$$Xf = \sum_{i=1}^n X(x_i) \cdot \frac{\partial f}{\partial x_i}$$

这里要用到一个欧氏空间光滑函数的局部展开技巧（流形上局部和欧氏空间一样，所以可以用）：对于$U$中任意一点$p$，取$\varphi(p)=q\in\mathbb{R}^n$，在$q$的邻域里，$\tilde{f}$可以写成：
$$\tilde{f}(r) = \tilde{f}(q) + \sum_{i=1}^n (r_i - q_i)h_i(r)$$
其中$h_i$是$\varphi(U)$上的光滑函数，而且$h_i(q)=\frac{\partial\tilde{f}}{\partial r_i}(q)=\left(\frac{\partial}{\partial x_i}f\right)(p)$。这个展开的本质是带积分余项的泰勒展开，完全是光滑的，没有问题。

把这个展开拉回$U$上，就变成：
$$f(p) = f(p_0) + \sum_{i=1}^n (x_i(p)-x_i(p_0))h_i'(p)$$
这里$p_0$是$U$中对应$q$的点，$h_i'=h_i\circ\varphi$是$U$上的光滑函数，且$h_i'(p_0)=\left(\frac{\partial}{\partial x_i}f\right)(p_0)$。

现在用导子$X$作用在等式两边：

• 左边就是$Xf(p_0)$；
• 右边第一项是常数$f(p_0)$，导子作用在常数上结果是0（这个小结论可以自己推：$X(c)=X(c\cdot1)=cX(1)+1\cdot X(c)$，移项得$X(c)=cX(1)$，再看$X(1)=X(1\cdot1)=X(1)+X(1)=2X(1)$，所以$X(1)=0$，所有常数的导子都是0）；
• 右边第二项用Leibniz法则展开：
  $$X\left[\sum_{i=1}^n (x_i - x_i(p_0))h_i'\right] = \sum_{i=1}^n \left[X(x_i - x_i(p_0))h_i'(p_0) + (x_i(p_0)-x_i(p_0))X(h_i')(p_0)\right]$$
  注意到$(x_i(p_0)-x_i(p_0))=0$，所以第二项直接消失，剩下的就是$\sum_{i=1}^n X(x_i)(p_0) \cdot h_i'(p_0)$，而$h_i'(p_0)=\left(\frac{\partial}{\partial x_i}f\right)(p_0)$，所以这部分就是$\sum_{i=1}^n X(x_i)(p_0) \cdot \left(\frac{\partial}{\partial x_i}f\right)(p_0)$。

因为$p_0$是$U$中任意一点，所以对所有$p\in U$，$Xf(p)$都等于$\sum_{i=1}^n X(x_i)(p) \cdot \left(\frac{\partial}{\partial x_i}f\right)(p)$，也就是$X=\sum_{i=1}^n X(x_i)\frac{\partial}{\partial x_i}$。

最后总结一下 #

我们通过三个步骤：

• 从欧氏空间偏导数拉回定义了候选基${\frac{\partial}{\partial x_i}}$，验证了它们是导子；
• 证明了这些导子是$C^\infty(U)$-线性无关的；
• 证明了任何导子都能表示成它们的$C^\infty(U)$-线性组合。

这就完全从导子的抽象定义出发，得到了局部图卡里向量场的基${\frac{\partial}{\partial x_i}}$——是不是一下子就把抽象的导子和具体的偏导数联系起来了？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者PLrc