希尔伯特空间上有界线性泛函零空间及其正交补的维数探究

咱们先从已知的背景设定入手：设$H$是复希尔伯特空间，$f:H\to\mathbb{C}$是有界线性泛函。由于$\ker f$（也就是$f$的零空间）是$H$的闭线性子空间，根据希尔伯特空间的正交分解定理，我们可以得到：
$$H=\ker f\oplus\ (\ker f)^\perp$$
这里我们假设$f\neq0$，那么$\ker f$是$H$的真子空间，由此能推出$(\ker f)^\perp$是非平凡的（即不只有零向量）。

我们能对$(\ker f)^\perp$的维数说些什么吗？

首先得纠正一个小误区：你之前写的$(\ker f)^\perp={x\in H\mid f(x)\neq0}$是不对的。正交补的定义是$(\ker f)^\perp={x\in H\mid \forall y\in\ker f, \langle x,y\rangle=0}$，它和$f(x)$是否为零没有直接等价关系哦。

现在来推导$(\ker f)^\perp$的维数：
因为$f\neq0$，我们可以取一个向量$x_0\in H$使得$f(x_0)\neq0$。对于任意$x\in(\ker f)^\perp$，我们来证明$x$一定是$x_0$的数乘：
考虑向量$z = x - \frac{f(x)}{f(x_0)}x_0$，计算$f(z)$：
$$f(z)=f(x)-\frac{f(x)}{f(x_0)}f(x_0)=f(x)-f(x)=0$$
所以$z\in\ker f$。而$x\in(\ker f)^\perp$，根据正交补的定义，$\langle x,z\rangle=0$，代入$z$的表达式：
$$\left\langle x, x - \frac{f(x)}{f(x_0)}x_0\right\rangle=0$$
展开后得到$|x|^2 - \frac{f(x)}{f(x_0)}\langle x,x_0\rangle=0$。

另外，结合里斯表示定理来看会更直观：存在唯一的$y_f\in H$，使得对所有$x\in H$都有$f(x)=\langle x,y_f\rangle$。此时$\ker f={x\in H\mid \langle x,y_f\rangle=0}$，也就是说$\ker f$是$y_f$的正交补空间，那么反过来$(\ker f)^\perp$就是由$y_f$张成的一维子空间——所有和$\ker f$正交的向量都必须与$y_f$线性相关。

所以结论很明确：当$f\neq0$时，$(\ker f)^\perp$的维数是1。

我们能对有界线性泛函的零集的维数得出什么结论吗？

这里的零集就是$\ker f$，我们可以结合之前的正交分解来分析：

• 有限维情形：如果$H$是有限维复希尔伯特空间，根据维数公式$\dim H = \dim\ker f + \dim(\ker f)^\perp$，已知$\dim(\ker f)^\perp=1$，所以$\dim\ker f = \dim H - 1$。
• 无限维情形：如果$H$是无限维的，那么$\ker f$的维数和$H$本身的维数相等。这是因为无限维空间中，去掉一个一维子空间（这里正交补是一维）后，原空间的维数不会改变——无限维空间的“大小”不会因为少了一维而缩水。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jack J.