利用Tonelli-Fubini定理证明积分等式的步骤求助

看起来你已经走对了关键的第一步——用Tonelli-Fubini定理交换了积分顺序，现在只需要把内层的单变量积分算出来，再对y积分就能得到结果啦，我一步步给你拆解：

首先，先处理内层积分 $\int_0^{\infty}e{-sx}\sin(2xy)dx$，这是一个很经典的指数衰减乘正弦函数的积分，我们可以用分部积分法推导，或者直接用现成的公式：对于 $s>0$（保证积分收敛），有
$$\int_0^{\infty}e{-ax}\sin(bx)dx = \frac{b}{a^2 + b^2}$$

这里取 $a=s$，$b=2y$，代入公式就能得到：
$$\int_0^{\infty}e{-sx}\sin(2xy)dx = \frac{2y}{s^2 + (2y)^2} = \frac{2y}{s^2 + 4y^2}$$

接下来把这个结果代入外层积分，就需要计算：
$$\int_0^1 \frac{2y}{s^2 + 4y^2} dy$$

这个积分可以用凑微分法快速求解：观察分母的导数 $\frac{d}{dy}(s^2 + 4y^2) = 8y$，刚好和分子的 $2y$ 成比例，我们把积分改写为：
$$\frac{1}{4}\int_0^1 \frac{d(s^2 + 4y^2)}{s2 + 4y^2}$$

而 $\frac{d(u)}{u}$ 的原函数是 $\ln|u|$，代入上下限计算：
$$\frac{1}{4}\left[\ln(s^2 + 4y^2)\right]_01 = \frac{1}{4}\left(\ln(s^2 + 4) - \ln(s^2)\right)$$

整理后得到：
$$\frac{1}{4}\ln\left(\frac{s^2 + 4}{s^2}\right) = \frac{1}{4}\ln\left(1 + \frac{4}{s^2}\right)$$

这里要提一句：你题目里给出的结果 $\frac{1}{4}\ln\left(1 - \frac{4}{s^2}\right)$ 存在问题——当 $s \leq 2$ 时，$1 - \frac{4}{s^2}$ 是非正的，对数没有定义，而左边的积分对于所有 $s>0$ 都是收敛的正数，所以应该是题目中的符号有误，正确结果应为上面推导出来的 $\frac{1}{4}\ln\left(1 + \frac{4}{s^2}\right)$。

把这几步和你之前的推导结合起来，就完整完成了积分等式的证明！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者UDAC