如何从修正贝塞尔函数K₀的原始定义推导其积分表示式

嘿，这个问题问到点子上了！要推导$K_0(x) = \int_0^{\infty} e^{-x \cosh t} dt$这个积分表示，我们可以从修正贝塞尔函数最常用的原始定义（基于汉克尔函数的解析延拓）入手，一步步来：

首先明确$K_\nu(x)$的标准原始定义：修正贝塞尔函数（虚宗量贝塞尔函数）$K_\nu(x)$是通过第一类汉克尔函数$H_\nu^{(1)}(z)$的解析延拓定义的，公式为：
$$K_\nu(x) = \frac{\pi}{2} i^{\nu+1} H_\nu^{(1)}(i x)$$
当$\nu=0$时，上式简化为：
$$K_0(x) = \frac{\pi}{2} i H_0^{(1)}(i x)$$

接下来，我们需要用到第一类汉克尔函数$H_0^{(1)}(z)$的积分表示（对于$\text{Re}(z) > 0$，这个积分是收敛的）：
$$H_0^{(1)}(z) = \frac{2}{\pi i} \int_0^\infty e^{i z \cosh t} dt$$

现在把$z = i x$（这里$x > 0$，保证后续积分收敛）代入上面的汉克尔函数积分式：
$$H_0^{(1)}(i x) = \frac{2}{\pi i} \int_0^\infty e^{i \cdot i x \cosh t} dt$$
化简指数部分：$i \cdot i = -1$，所以指数变成$-x \cosh t$，于是：
$$H_0^{(1)}(i x) = \frac{2}{\pi i} \int_0^\infty e^{-x \cosh t} dt$$

最后把这个结果代回$K_0(x)$的定义式里：
$$K_0(x) = \frac{\pi}{2} i \cdot \frac{2}{\pi i} \int_0^\infty e^{-x \cosh t} dt$$
这里$\frac{\pi}{2}i$和$\frac{2}{\pi i}$相乘刚好等于1，分子分母的$\pi$、$i$都抵消了，最终就得到：
$$K_0(x) = \int_0^{\infty} e^{-x \cosh t} dt$$

如果你的“原始定义”指的是级数形式的定义，推导会稍微麻烦一点：$K_0(x)$的级数展开是：
$$K_0(x) = -\left( \ln\frac{x}{2} + \gamma \right) I_0(x) + \sum_{n=1}^\infty \frac{(x/2)^{2n}}{(n!)2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$$
其中$I_0(x)$是第一类修正贝塞尔函数，它的积分表示是$I_0(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi e^{x \cos\theta} d\theta$。把$I_0(x)$的积分代入级数，再交换求和与积分顺序，最后和$\int_0^\infty e^{-x \cosh t} dt$的展开式对比，也能证明两者相等，但这种方法不如用汉克尔函数的解析延拓直接直观。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Giovanni