求满足(45)ᵦ和(55)ᵦ为连续整数平方的基数b

让我们一步步拆解这个问题，先从最基础的差值分析入手：

首先，计算两个数在基数b下的差：
$$(55)_b - (45)_b = (10)b = b{10}$$
换句话说，这两个数的十进制差值刚好等于基数b本身。

题目明确说(45)ᵦ和(55)ᵦ是连续整数的平方，假设较大的(55)ᵦ是$(k+1)^{2$（十进制），较小的(45)ᵦ是$k}2$（十进制），那它们的平方差应该是：
$$(k+1)^2 - k^2 = 2k + 1$$

结合上面的差值结论，我们可以得到第一个关键等式：
$$b = 2k + 1$$

接下来，我们把两个数转换成十进制形式：

• $(45)_b = 4b + 5$，它等于$k^2$
• $(55)_b = 5b + 5$，它等于$(k+1)^2$

现在把$k = \frac{b-1}{2}$（从$b=2k+1$推导而来）代入$(45)_b = k^2$的等式中：
$$4b + 5 = \left( \frac{b-1}{2} \right)^2$$

接下来解这个代数方程：

1. 展开右边的平方项：
   $$4b + 5 = \frac{b^2 - 2b + 1}{4}$$
2. 两边同乘4消去分母：
   $$16b + 20 = b^2 - 2b + 1$$
3. 整理成标准一元二次方程形式：
   $$b^2 - 18b - 19 = 0$$
4. 求解这个方程（用因式分解更快捷）：
   因式分解可得：$(b-19)(b+1)=0$，因为基数b必须是大于5的正整数，所以取正根$b=19$

最后我们来验证一下结果是否正确：

• $(45)_{19} = 4*19 + 5 = 76 + 5 = 81 = 9^2$
• $(55)_{19} = 5*19 + 5 = 95 + 5 = 100 = 10^2$

完美！这两个数确实是连续整数9和10的平方。

你之前用试错法尝试b=6、7、8都没成功，是因为这些基数对应的十进制值并不满足平方数的条件——我们需要通过代数方程推导来找到准确的b，而不是只试小基数~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者rotem aracky