霍夫曼《线性代数》2.2节习题4：求生成子空间W的有限向量集
嘿，这道题我一步步帮你拆解清楚哈～
首先先明确题目要求：
设$W$是$\mathbb{R}^5$中所有满足以下齐次方程组的向量$(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$构成的集合：
$$\begin{cases}
2x_1 - x_2 + \frac{4}{3}x_3 - x_4 = 0 \
x_1 + \frac{2}{3}x_3 - x_5 = 0 \
9x_1 - 3x_2 + 6x_3 - 3x_4 - 3x_5 = 0
\end{cases}$$
我们需要找出一个有限向量集，使得这个集合的线性组合能够生成整个子空间$W$。
第一步：化简方程组为行阶梯形
通过初等行变换，我们可以把方程组对应的系数矩阵化简为行阶梯形，最终得到：
$$\begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{2}{3} & 0 & -1 \
0 & 1 & 0 & 1 & -2 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$
这里第三行全0说明原方程组中的第三个方程是前两个方程的线性组合，没有提供新的约束条件。
第二步：写出等价的简化方程组
从行阶梯形矩阵可以直接写出等价的方程组：
$$\begin{cases}
x_1 + \frac{2}{3}x_3 - x_5 = 0 \
x_2 + x_4 - 2x_5 = 0
\end{cases}$$
第三步：用自由变量参数化解
观察这个简化方程组，我们能发现$x_3$、$x_4$、$x_5$是自由变量（它们对应的列没有主元，可以取任意实数），我们可以用这三个变量来表示约束变量$x_1$和$x_2$：
- 由第一个方程解出：$x_1 = -\frac{2}{3}x_3 + x_5$
- 由第二个方程解出：$x_2 = -x_4 + 2x_5$
现在我们把原向量用自由变量展开：
$$
\begin{align*}
(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) &= \left(-\frac{2}{3}x_3 + x_5,\ -x_4 + 2x_5,\ x_3,\ x_4,\ x_5\right) \
&= x_3\left(-\frac{2}{3},\ 0,\ 1,\ 0,\ 0\right) + x_4\left(0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0\right) + x_5\left(1,\ 2,\ 0,\ 0,\ 1\right)
\end{align*}
$$
第四步：确定生成子空间的向量集
从上面的参数化表达式可以看出，$W$中的任意向量都可以表示为这三个向量的线性组合：
- $\left(-\frac{2}{3},\ 0,\ 1,\ 0,\ 0\right)$
- $\left(0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0\right)$
- $\left(1,\ 2,\ 0,\ 0,\ 1\right)$
如果觉得分数不太方便，我们可以把第一个向量乘以3（因为缩放向量不会改变它生成的子空间），得到等价的整数向量$\left(-2,\ 0,\ 3,\ 0,\ 0\right)$，这样生成集也可以写成：
- $\left(-2,\ 0,\ 3,\ 0,\ 0\right)$
- $\left(0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0\right)$
- $\left(1,\ 2,\ 0,\ 0,\ 1\right)$
这两个集合都可以生成子空间$W$，选哪个都没问题~
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Yinuo An
