关于张量积正交投影$P\otimes P$的公式正确性验证问询

嘿，我来帮你梳理这个张量积投影的公式问题～

首先先回顾一下已知的单变量空间上的正交投影$P$的定义：

固定$\phi \in L^{{2}(\mathbb{R}}{d})$，$P$是正交投影到$\text{span}{\phi}$的正交补空间，也就是说对任意$f \in L^{{2}(\mathbb{R}}{d})$，有：
$$(Pf)(x) = f(x) - \phi(x)\int \overline{\phi(y)}f(y) dy$$

现在要推广到张量积空间$L^{{2}(\mathbb{R}}{d})\otimes L^{{2}(\mathbb{R}}{d}) \cong L^{{2}(\mathbb{R}}{d}\times \mathbb{R}^{d})$上的$P \otimes P$，我们可以从简单张量的情况入手推导，再线性延拓到整个空间：

第一步：简单张量的情况 #

对于简单张量$f \otimes g$（其中$f,g \in L^2(\mathbb{R}d)$），张量积算子的定义是$(P\otimes P)(f\otimes g) = Pf \otimes Pg$。把$Pf$和$Pg$的表达式代入，就能得到：
$$(P\otimes P)(f\otimes g) = (Pf)(x) \cdot (Pg)(y)$$
展开右边的乘积：
$$= \left(f(x) - \phi(x)\int \overline{\phi(z)}f(z) dz\right) \cdot \left(g(y) - \phi(y)\int \overline{\phi(w)}g(w) dw\right)$$
把这个乘积展开后是：
$$= f(x)g(y) - \phi(x)g(y)\int \overline{\phi(z)}f(z) dz - f(x)\phi(y)\int \overline{\phi(w)}g(w) dw + \phi(x)\phi(y)\left(\int \overline{\phi(z)}f(z) dz\right)\left(\int \overline{\phi(w)}g(w) dw\right)$$

第二步：推广到一般函数 #

对于$L^2(\mathbb{R}d\times\mathbb{R}^d)$中的任意函数$f(x,y)$，我们可以用简单张量的线性组合来逼近它，因此把上面的结果推广后，积分会变成二重积分，最终的公式是：
$$(P\otimes P)f = f(x,y) - \phi(x)\int \overline{\phi(z)}f(z,y) dz - \phi(y)\int \overline{\phi(w)}f(x,w) dw + \phi(x)\phi(y)\int \overline{\phi(z)}\overline{\phi(w)}f(z,w) dz dw$$

公式的合理性解释 #

这个公式其实是容斥原理在正交投影上的应用：

• 第一项是原函数$f(x,y)$
• 第二项去掉了$f$在$\phi(x)\otimes L^2(\mathbb{R}d)$这个子空间方向的分量
• 第三项去掉了$f$在$L^2(\mathbb{R}d)\otimes \phi(y)$这个子空间方向的分量
• 第四项补回前两项重复减去的$\phi(x)\otimes\phi(y)$方向的分量（因为前两步都减去了这个部分，所以需要加回来一次修正）

看起来你之前得到的部分是正确的，只是没写完完整的展开式，上面就是$P\otimes P$的完整准确公式啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者InMathweTrust