正实数条件下的分式不等式证明求助

大家好，我现在碰到了一个不等式证明的难题，想请各位帮忙指点一下：

设 (a,b,c,d\in \mathbb{R}^*_+)（也就是正实数），且满足每个数都小于另外三个数的和。需要证明以下不等式成立：
$$\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+d}+ \frac{1}{a+d+c}+\frac{1}{d+b+c}< \frac{6}{a+b+c+d}$$

我自己先琢磨了一下，根据题目给的条件，首先能得出：

• (a< b+c+d)
• (b< a+c+d)
• (c< a+b+d)
• (d< a+b+d)（这里应该是输入笔误，实际应为(d< a+b+c)）

然后我尝试做了一步放缩，得到：
$$\frac{1}{a+b+c}+ \frac{1}{a+b+d}+ \frac{1}{a+d+c}+ \frac{1}{d+b+c} <
\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}+ \frac{1}{d}$$
但走到这一步之后就卡壳了，不知道接下来该怎么继续推导才能靠近要证明的结论。

真心希望有大佬能给我一些思路或者完整的证明方法，谢谢大家啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者IONELA BUCIU