Fréchet空间中的半Fredholm算子扰动问题

咱们先从已有的结论聊起：大家都知道，在Banach空间甚至拟Banach空间上，指标是半Fredholm算子集合上的连续函数。可惜的是，这个结论放到一般Fréchet空间里就不成立了，下面可以找到相关的反例。

我现在特别关注这么一个问题：假设存在从某个区间到半Fredholm算子空间的连续映射 ( h \mapsto T_h )，要证明 ( \text{ind}(T_h) ) 是常数。哪怕是在Fréchet空间的场景下，如果我们加个条件——当 ( |h'-h| < \varepsilon(h) ) 时，( T_h - T_{h'} ) 属于紧算子类，那这个指标恒定的结论是成立的。

那我就好奇了：有没有更大的算子类能保证同样的结果？换句话说，在一般Fréchet空间上，最大的算子类是什么样的？要求满足：只要给定任意半Fredholm算子 ( T )，( T + K ) 依然是半Fredholm算子，并且和 ( T ) 有相同的指标（注：原文内容未完整表述）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Pelota