带矩阵线性等式约束的L₁范数最小化问题求解及代码实现

我最近碰到这么个问题：需要在线性约束条件 Mx = y 下，最小化向量x的L₁范数。这里的参数定义是：

• x是b维向量
• y是a维向量
• M是a×b维度的矩阵

查了一圈资料后，我决定用scipy.optimize.minimize来实现这个优化问题，下面是整理好的代码和关键细节：

核心实现代码 #

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

def objective(x):
    # 定义L₁范数作为目标函数
    return np.linalg.norm(x, ord=1)

# 假设这里已经提前定义好a, b, M, y的值
constraints = []  # 存储所有约束函数的列表
for i in range(a):
    # 注意：必须把i和y作为默认参数传入，避免闭包延迟绑定的坑
    def con(x, y=y, i=i):
        return np.matmul(M[i], x) - y[i]
    constraints.append(con)

# 初始化x的初始猜测值（比如全零向量）
x0 = np.zeros(b)

# 执行优化：使用SLSQP求解器，因为它支持等式约束
result = minimize(objective, x0, constraints=[{'type': 'eq', 'fun': con} for con in constraints])

# 输出结果
print("优化后的x向量：", result.x)
print("最小化的L₁范数值：", result.fun)

关键细节说明 #

• 目标函数：直接用np.linalg.norm(x, ord=1)计算L₁范数，简洁高效。
• 约束定义的坑：在循环里定义约束函数时，一定要把i和y作为默认参数传入。如果不这么做，Python的闭包会延迟绑定变量，导致所有约束函数最后都引用循环的最后一个i值，完全不符合预期。
• 求解器选择：minimize函数默认的求解器可能不支持等式约束，这里用SLSQP求解器是因为它能很好处理线性/非线性的等式、不等式约束。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者kevinkayaks