基于Alexa等人2000年ARAP论文的三角形四元数形状插值实现（C++/OpenGL+Eigen）

最近我在跟着Alexa、Cohen-Or和Levin 2000年的经典论文《As-rigid-as-possible shape interpolation》，尝试实现两个三角形之间基于四元数的形状插值，目前整理了部分推进步骤，先梳理出来：

1. 定义三角形对应的齐次变换矩阵 #

首先明确两个三角形的顶点与对应矩阵：

• 源三角形（三角形1）的顶点为A、B、C，对应的齐次坐标变换矩阵 T1 定义为：

  T1 = {{A.x, B.x, C.x}, 
        {A.y, B.y, C.y}, 
        {1, 1, 1}}
  

• 目标三角形（三角形2）的顶点为M、N、O，这里注意到你写的 T2 存在笔误（x行和y行的第三列都误写为N的坐标），修正后的齐次矩阵应该是：

  T2 = {{M.x, N.x, O.x}, 
        {M.y, N.y, O.y}, 
        {1, 1, 1}}
  

2. 计算源到目标的仿射变换矩阵 #

接下来我打算先求解 T1 的逆矩阵 T1⁻¹，再将其与 T2 相乘，得到仿射变换矩阵 Affine = T1⁻¹ * T2。这一步的核心是把源三角形的坐标空间映射到目标三角形的空间，为后续分解刚性变换做基础准备。

3. 分解变换并结合四元数实现刚性插值 #

得到仿射矩阵后，下一步要将其拆分为旋转矩阵R、缩放矩阵S和平移向量t。ARAP的核心就是尽可能保留旋转部分的刚性，只引入最小的变形完成插值，而四元数是高效处理旋转插值的关键：

• 先把对应旋转矩阵转换为四元数形式，得到源状态的四元数q1和目标状态的四元数q2
• 对两个四元数使用球面线性插值（SLERP），得到插值过程中任意时刻的过渡四元数q(t)，再转回旋转矩阵R(t)
• 同时对平移向量t和缩放矩阵S做线性插值，得到t(t)和S(t)
• 最后将这些插值后的变换组合，应用到源三角形的顶点上，就能生成平滑过渡的中间三角形顶点

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Toj19