验证概率分布函数相关积分∫ₐᵇx f’(x)g(x)dx是否恒为零的技术问询

嗨，咱们来仔细拆解你提出的这个问题——关于两个概率分布函数相关积分是否恒为零的疑问，我发现你在分部积分的步骤里有个关键误区，咱们一步步梳理清楚：

先明确前提条件 #

• 设 ( f(x) ) 和 ( g(x) ) 是定义在区间 ([a,b]) 上的概率分布函数
• ( g(x) ) 的均值存在：( \int_a^b x g(x) dx = \mu_g )
• ( f(x) ) 的导数 ( f'(x) ) 存在且定义良好

指出分部积分的关键错误 #

你尝试用分部积分时，设 ( u = f'(x) )，( dv = x g(x) dx )，这里的问题在于**( v ) 应该是 ( x g(x) ) 的不定积分（关于x的函数），而不是定积分的结果 ( \mu_g )**——定积分是一个常数，分部积分里的 ( v ) 必须是原函数，这是导致推导偏差的核心原因。

正确的分部积分推导 #

咱们换一个更合理的变量拆分来做分部积分：
设 ( u = x g(x) )，( dv = f'(x) dx )，则：

• ( du = \left[ g(x) + x g'(x) \right] dx )
• ( v = f(x) )

根据分部积分公式 ( \int_a^b u , dv = uv\big|_a^b - \int_a^b v , du )，代入后可得：
[
\int_a^b x g(x) f'(x) dx = \left. x g(x) f(x) \right|_a^b - \int_a^b f(x) \left[ g(x) + x g'(x) \right] dx
]

结合概率分布函数的性质（以CDF为例：( f(a)=0, f(b)=1 )；( g(a)=0, g(b)=1 )），第一项边界值为：
[
\left. x g(x) f(x) \right|_a^b = b \cdot g(b) \cdot f(b) - a \cdot g(a) \cdot f(a) = b \times 1 \times 1 - a \times 0 \times 0 = b
]

展开后续积分项后，原积分最终可表示为：
[
\int_a^b x f'(x) g(x) dx = b - \int_a^b f(x) g(x) dx - \int_a^b x f(x) g'(x) dx
]

实例验证：积分不恒为零 #

咱们用一个简单例子就能推翻“积分恒为零”的结论：
取区间 ([0,1])，设 ( f(x)=x )（这是均匀分布的CDF，导数 ( f'(x)=1 )），( g(x)=x )（同样是均匀分布的CDF）。

计算原积分：
[
\int_0^1 x \cdot 1 \cdot x dx = \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3} \neq 0
]

如果换成PDF的例子，比如 ( f(x)=2x )、( g(x)=2x )（均为([0,1])上的PDF），原积分结果为 ( \frac{4}{3} )，同样不为零。

结论 #

这个积分并不总是为零，其结果取决于 ( f(x) ) 和 ( g(x) ) 的具体形式，你之前的推导错误源于对分部积分中“原函数”概念的误用。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者RMS