关于AM-GM inequality无法取等场景的问题咨询

设 (a+b+c=1)，其中 (a,b,c) 为正实数，证明 (ab^2c3\le 108)。

我最近在解这个不等式证明题的时候，试着用AM-GM不等式来推导，步骤是这样的：
$$1=a+b+c=a+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{3}+\frac{c}{3}+\frac{c}{3}\ge\sqrt[6]{ab^2c3/108},$$
整理之后确实能得到 (ab^2c3\le 108) 的结论。

但我越想越觉得不对劲——既然 (a,b,c) 都是和为1的正实数，那每个数的范围都在0到1之间啊，它们的乘积 (ab^2c3) 怎么可能超过1呢？更别说108了。这说明我用AM-GM的过程里肯定有问题，是不是在取等条件这里出了差错？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1385405