关于Artin的代数闭域存在性证明的技术问询

最近我在研读Dummit&Foote中由Artin给出的代数闭域存在性证明，碰到了一段有点绕的推导，想请教下社区里的各位大佬：

对于每个系数在域$F$中的非常数首一多项式$f = f(x)$，记$x_f$为一个不定元，考虑由这些变量$x_f$在$F$上生成的多项式环$F[\dots, x_f, \dots]$。在这个多项式环中，考虑由多项式$f(x_f)$生成的理想$I$。如果这个理想不是真理想，那么$1$属于该理想，因此存在如下关系式：
$$\sum_{j=1}^{n}g_j(x_1,x_2,\cdots,x_m)f_j(x_j)=1$$
其中$f_j(x_j)$是上述多项式集合中的元素...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Quay Chern