关于方程$rac{x^2}{x}=0$的解的判定及未定义/不确定值是否为解的技术问询

我纠结好久一个数学问题：方程$\frac{x^2}{x}=0$到底有没有解？我自己琢磨着应该是没有解的，我的推理过程是这样的：

$$
\frac{x^2}{x} = 0 \implies x = 0
$$

接下来我验证了这个“解”：把$x=0$代回原方程的话，得到的是$\frac{0}{0}$，这是未定义的。所以我觉得这个方程其实没有解。

不过我真正想问的核心问题是：

• 不管方程的形式怎么写，如果把某个候选“解”代回原方程后，结果是未定义或者不确定的，那这个值就不能算作方程的解吗？
• 而且这个规则是不是对所有代入的$x$值都适用？

举个具体的例子：函数$f(x) = \frac{x(x-2)}{(x-2)}$，哪怕看起来可以把分子分母的$(x-2)$约掉，但$x=2$的时候这个函数依然是未定义的，对吧？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Reuben