变形虫种群第n分钟灭绝概率的递推关系求解问询

先来明确问题里的核心定义，方便后续推导：

• 令 pₙ 表示种群恰好第n分钟灭绝的概率；
• 令 qₙ = p≤ₙ = Σᵢ=₀ⁿ pᵢ，也就是种群在第n分钟及之前灭绝的概率，显然q₀=0（初始时刻只有1只活变形虫，不可能灭绝），p₀=0。

递推关系推导 #

我们先从qₙ（累积灭绝概率）的递推入手，再转化为pₙ的表达式：

初始只有1只变形虫，考虑它第1分钟的三种行为：

1. 直接死亡：概率1/3，这种情况下种群立刻灭绝，自然属于“n分钟内灭绝”的情况；
2. 保持原样：概率1/3，此时相当于我们重新拥有1只变形虫，但剩余时间变成了n-1分钟，所以这种情况下n分钟内灭绝的概率等于qₙ₋₁；
3. 分裂成两只：概率1/3，因为两只变形虫行为独立，所以它们都要在剩余n-1分钟内灭绝，概率就是(qₙ₋₁)²。

把这三种情况的概率加起来，就得到qₙ的递推式：

qₙ = (1/3)*1 + (1/3)*qₙ₋₁ + (1/3)*(qₙ₋₁)²

而pₙ是“恰好第n分钟灭绝”的概率，等于第n分钟及之前灭绝的概率减去第n-1分钟及之前灭绝的概率，也就是pₙ = qₙ - qₙ₋₁。把上面的qₙ代入这个式子：

pₙ = [1/3 + (1/3)qₙ₋₁ + (1/3)qₙ₋₁²] - qₙ₋₁

化简后得到：

pₙ = (1 - qₙ₋₁)² / 3

最后把qₙ₋₁替换成它的定义式qₙ₋₁ = Σᵢ=₀^{n-1} pᵢ，就得到了pₙ用i≤n-1的pᵢ表示的递推关系：

pₙ = (1 - Σᵢ=₀^{n-1} pᵢ)² / 3

举个小例子验证下初始项：

• n=1时，p₁=(1 - 0)²/3=1/3，完全符合“第1分钟直接死亡”的概率；
• n=2时，q₁=p₀+p₁=1/3，p₂=(1 - 1/3)²/3=4/27，对应的实际场景是：第1分钟没灭绝（概率2/3），然后第2分钟所有存活个体灭绝——要么第1分钟保持原样（1/3概率）后第2分钟死亡（1/3），要么第1分钟分裂成两只（1/3概率）后第2分钟两只都死亡（(1/3)²），总概率为(1/31/3 + 1/3(1/3)²)=4/27，和计算结果一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者inkievoyd