寻找具有恰好两个不可分解模的有限维局部代数的非平凡例子

嘿，我懂你想要找这类非平凡例子的需求！你目前提到的k[x]/⟨x²⟩和域k确实是最基础的情况，不过在非代数闭域上，我们可以找到一些维数更高、更有意思的非平凡例子：

• 非代数闭域上的不可约多项式平方商代数：
  • 比如取实数域ℝ，考虑代数ℝ[x]/⟨(x²+1)²⟩。这是一个4维局部代数，它的唯一极大理想是⟨x²+1⟩，根平方为⟨(x²+1)²⟩=0。它的不可分解模恰好有两个：
    • 单模：复数域ℂ，作为ℝ-模是2维的，在A的作用下，x对应复数乘法中的虚数单位i；
    • 不可分解投射模：正则模A本身，它的合成因子是两次单模ℂ。
  • 类似地，在有限域𝔽_p上，取一个不可约二次多项式f(x)，那么代数𝔽_p[x]/⟨f(x)²⟩也是一个4维局部代数，它的不可分解模同样只有两个：单模𝔽_p²（x作用为f(x)的友矩阵）和正则模A。

需要注意的是，在代数闭域上，这类有限维局部代数其实只有你提到的那两个——单代数k和k[x]/⟨x²⟩。这是因为代数闭域上的局部代数如果根平方为0且根是高维的，会产生更多的不可分解模；而根平方非零的局部代数（比如k[x]/⟨xⁿ⟩，n≥3）会有n个不可分解模，不符合要求。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Momo1695