弱*收敛下给定性质的保持性技术问询

咱们先明确这个分析问题的前提设定：
设 $1 \le p < n$，$p^$ 是 $p$ 的Sobolev共轭，也就是 $p^ = \frac{np}{n - p}$。

令 $(\Omega_m)$ 是一列递增的有界开集，满足
$$ \lim_{m \to \infty} \sup {r : B(0, r) \subset \Omega_m } = \infty. $$

假设序列 $u_m \in W^{1, p}(\Omega_m)$，满足 $0 \le u_m \le 1$，同时有如下两个核心条件：

• 平均意义下的Sobolev共轭范数趋于0：$$ \lim_{m \to \infty} \frac{1}{|\Omega_m|} \int_{\Omega_m} |u_m|^{p*} , dx = 0 $$
• 梯度的$L^p$范数一致有界：$$ |\nabla u_m|_{L^p(\Omega_m, \mathbb{R}^n)} \le C $$
  这里的常数 $C$ 不依赖于下标 $m$。

由于 $(u_m)$ 在 $L^{\infty(\mathbb{R}}n)$ 中一致有界……

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Cauchy's Sequence