含贝塞尔函数乘积的无穷级数化简及相关傅里叶系数求解咨询

大家好，我在研究过程中遇到了下面这个无穷级数，感觉它应该是可以化简的，想请大家帮忙看看：

$$\sum_{k=-\infty}^\infty i^{k+1}(n+k)e{i(n+k)\theta}J_n(a)J_k(b)$$

另外，我做这个研究的动机是想把一个已知结果做推广。先给大家说下已知的结论：
$$\frac{\partial}{\partial\theta}e^{i a \sin{\theta}}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}i n e^{in\theta}J_n(a)$$

现在我想把这个结果推广到左边是下面这种形式的情况：
$$\frac{\partial}{\partial\theta}e^{i(a \sin{\theta}+b\cos{\theta})}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}?~e{in\theta}$$

也就是想求右边傅里叶级数里的系数应该是什么。最开始提到的那个无穷级数，就是我推导到现在的进度，卡在这里了，希望能得到大家的帮助🙏。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者jrekier