关于2×n尺寸砖块平面铺砌的计数问题咨询

今天我去听了一场讲座，老师拿用2×n尺寸的砖块铺砌平面的情况当例子，但我全程没太搞懂她到底说的是什么，也不清楚该怎么判断两种铺砌方式算相同还是不同。不过这个问题的大致设定我记下来了，是这样的：

我们定义一个函数 $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$，用来计算对应n值下的铺砌方式总数。这里的n是用来确定砖块尺寸的——固定某个n，我们就用2×n大小的矩形砖块来铺；另外我们规定 $f(0) := 1$，然后能得到：

• $f(1) = 1$
• $f(2) = 2$
• 一般情况下，我们有递推公式：
  $$f(n) = \sum\limits_{k = 0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \binom{n-k}{k}. \qquad (1)$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ben123