关于排序后高斯向量内积依概率收敛到1的证明问询

嘿，我最近碰到个概率收敛的问题，模拟结果看起来很明确，但自己死活证不出来，想请各位大佬指点一二！

具体问题是这样的：假设$X_i, Y_i$都是独立同分布的标准正态随机变量，也就是$X_i, Y_i \stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim} N(0,1)$。我把两组样本分别按递增顺序排序，用$X_{(i)}$表示$X$样本的第$i$个顺序统计量，然后定义了这么个统计量：
$$T = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_{(i)} Y_{(i)}$$

我用模拟跑了好多次，结果都显示$T$是依概率收敛到1的，也就是$T \stackrel{p}{\to} 1$，但就是找不到严格的证明思路。不过我自己琢磨出一个方向，不知道能不能走通：

如果用$\hat{Q}_X$和$\hat{Q}Y$分别表示$X$和$Y$样本的经验分位数函数，那$T$其实可以写成一个积分的形式：
$$\frac{1}{n} \sum{i=1}^n\hat{Q}_X(i/n) \hat{Q}_Y(i/n) = \int_0^1 \hat{Q}_X(u) \hat{Q}_Y(u) du$$

我猜想这个积分应该会依概率收敛到理论分位数函数乘积的积分，也就是$\int_0^1 Q_X(u) Q_Y(u) du$。因为$X$和$Y$都是标准正态分布，它们的理论分位数函数是一样的，都是$Q_X(u)=Q_Y(u)=\Phi^{-1}(u)$，这里$\Phi$是标准正态分布的分布函数。那这个积分算出来就是：
$$\int_0^1 [\Phi^{-1}(u)]2 du = \int_{-\infty}^\infty x^2 \phi(x) dx = 1$$
毕竟$\int_{-\infty}^\infty x^2 \phi(x) dx$就是标准正态变量的二阶矩，等于方差1嘛。

但现在我卡壳了——怎么严格证明经验分位数函数乘积的积分会依概率收敛到理论分位数函数乘积的积分呢？或者有没有其他更直接的方法来证明$T \stackrel{p}{\to} 1$？求各位大佬帮忙解惑！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者philbobaggins42