沿图中标注#2的折线路径计算$oldsymbol{ar{z}}$的复积分的疑问

我现在需要计算这个复积分：
$$\int_{C}\bar{z}dz$$
这里的$\bar{z}$表示复数$z$的共轭，积分路径C是图中标注为#2的折线路径。

我没有采用参数化的方法来计算，而是把被积函数拆成实部和虚部：$\bar{z}=x-iy$，同时把$dz$写成$dx+i,dy$，然后直接展开计算，最后得到的结果是$1-i$。

不过当我对照参考答案的时候，发现结果和我算的不一样。而且我看到参考答案的第一行里，把某个关于$dy$的积分写成了$\int_{0}^{1}-iy,\mathrm{d}y$，这完全说不通啊——这个积分明明是从$(x-iy)$和$dx+i,dy$相乘展开得到的，我实在搞不懂为什么会出现这样的形式，想问问大家这是哪里出问题了？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Henri