关于积分$I_n=\int_0^1 x^n \sqrt{1-x^2}\ln x\ dx$显式闭合形式的推导问询

最近我在研究下面这个积分：
$$I_n=
\int_0^1
x^n \sqrt{1-x^2}\ln x\ dx
$$

借助Wolfram Alpha（WA），我观察到了结果里的一些规律：
\begin{align}
& I_0=\pi \left(- \frac18 -\frac14\ln 2\right)\
& I_1=- \frac49+\frac13\ln 2\
& I_2=\pi\left( \frac1{64}- \frac1{16}\ln 2\right)\
& I_3=- \frac{31}{225}+\frac2{15}\ln 2\
& I_4=\pi\left( \frac5{384}- \frac1{32}\ln 2\right)\
& I_5=\cdots
\end{align}

这看起来$I_n$应该可以写成这样的闭合形式：
$$I_n=c_n\left( a_n+b_n \ln2\right)
$$
其中$a_n$和$b_n$都是有理数，而$c_n$会在$1$和$\pi$之间交替变化。

我的问题是：怎么推导$I_n$的显式闭合形式呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ace