关于Coxeter群中元素w是否为wA_{In(w)}中唯一极小长度元素的技术问询

各位好，我最近在钻研Coxeter群相关内容时碰到了一个困惑，想请教下大家：

假设$(W,S)$是一个Coxeter系统，先明确两个关键定义：

• $In(w)={s\in S,|,l(ws)<l(w)}$，这里的$l$指的是Coxeter群中的长度函数
• $A_{In(w)}={a\in W,|,l(a)<l(sa);\forall s\in In(w)}$

我想确认的是：是否对所有$a\in A_{In(w)}$，都满足$l(wa)\ge l(w)$，并且当且仅当$a$是单位元$e$时等号成立？

换个更直白的问法：$w$是不是$wA_{In(w)}$这个集合里唯一的极小长度元素？

如果这个结论不成立的话，能不能退一步得到这样的结论：对每个非单位元$a\neq e$，都存在某个$u\in W_{In(w)}$（$W_{In(w)}$是由$In(w)$生成的抛物子群），使得$l(wua)>l(w)$？

这个问题是我在阅读Davis的《The geometry and topology of Coxeter groups》中Lemma 8.3.3 ii时产生的，盼各位能帮忙解惑～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Gio