格拉姆-施密特过程变体：证明w₁、w₂、w₃两两正交的方法

嘿，我来帮你一步步拆解这个证明过程！咱们先把题目里的定义再明确一遍，方便后续推导：

• $w_1 = u_1/|u_1|$（$w_1$是$u_1$单位化后的向量）
• $v_2 = u_2 −(u_2·w_1)w_1$，$w_2 = v_2/|v_2|$（$v_2$是$u_2$减去它在$w_1$上的投影，再单位化得到$w_2$）
• $v_3 = u_3 −(u_3·w_1)w_1 −(u_3·w_2)w_2$，$w_3 = v_3/|v_3|$（$v_3$是$u_3$减去它在$w_1$、$w_2$上的投影，再单位化得到$w_3$）

接下来咱们逐个证明这三个向量两两正交：

1. 证明 $w_1·w_2 = 0$ #

首先，$w_2$是$v_2$的单位向量，所以可以拆解成：
$$w_1·w_2 = w_1·\left(\frac{v_2}{|v_2|}\right) = \frac{1}{|v_2|}(w_1·v_2)$$
把$v_2$的定义代入进去计算$w_1·v_2$：
$$
\begin{align*}
w_1·v_2 &= w_1·\left[u_2 −(u_2·w_1)w_1\right] \
&= w_1·u_2 - (u_2·w_1)(w_1·w_1)
\end{align*}
$$
因为$w_1$是单位向量，所以$w_1·w_1 = |w_1|^2 = 1$；同时点积满足交换律，$w_1·u_2 = u_2·w_1$。代入后：
$$w_1·v_2 = (u_2·w_1) - (u_2·w_1)×1 = 0$$
所以$w_1·w_2 = \frac{0}{|v_2|} = 0$，第一个正交关系得证。

2. 证明 $w_1·w_3 = 0$ #

同样的思路，先把$w_3$拆成单位化后的$v_3$：
$$w_1·w_3 = w_1·\left(\frac{v_3}{|v_3|}\right) = \frac{1}{|v_3|}(w_1·v_3)$$
代入$v_3$的定义计算$w_1·v_3$：
$$
\begin{align*}
w_1·v_3 &= w_1·\left[u_3 −(u_3·w_1)w_1 −(u_3·w_2)w_2\right] \
&= w_1·u_3 - (u_3·w_1)(w_1·w_1) - (u_3·w_2)(w_1·w_2)
\end{align*}
$$
这里咱们已经知道$w_1·w_1=1$，而且刚才证明了$w_1·w_2=0$，同时$w_1·u_3 = u_3·w_1$，代入后：
$$w_1·v_3 = (u_3·w_1) - (u_3·w_1)×1 - (u_3·w_2)×0 = 0$$
所以$w_1·w_3 = \frac{0}{|v_3|} = 0$，第二个正交关系得证。

3. 证明 $w_2·w_3 = 0$ #

还是用相同的逻辑，先展开：
$$w_2·w_3 = w_2·\left(\frac{v_3}{|v_3|}\right) = \frac{1}{|v_3|}(w_2·v_3)$$
代入$v_3$的定义计算$w_2·v_3$：
$$
\begin{align*}
w_2·v_3 &= w_2·\left[u_3 −(u_3·w_1)w_1 −(u_3·w_2)w_2\right] \
&= w_2·u_3 - (u_3·w_1)(w_2·w_1) - (u_3·w_2)(w_2·w_2)
\end{align*}
$$
这里$w_2·w_1=0$（已证），$w_2$是单位向量所以$w_2·w_2=1$，同时$w_2·u_3 = u_3·w_2$，代入后：
$$w_2·v_3 = (u_3·w_2) - (u_3·w_1)×0 - (u_3·w_2)×1 = 0$$
所以$w_2·w_3 = \frac{0}{|v_3|} = 0$，第三个正交关系也得证了。

这样咱们就通过点积的基本性质，一步步验证了$w_1$、$w_2$、$w_3$两两正交的结论啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dalton Leth