求曲线$y = 2x^3 + 12x^2 + 5x + 9$上切线过原点的点

嘿，咱们一步步来解决这个问题哈。要找曲线上哪些点的切线能经过原点，首先得明确两个关键点：一是导数就是切线的斜率，二是切线过原点这个条件怎么转化成方程。

首先，先算出这个函数的导数（也就是切线斜率的表达式）：
$f'(x) = 6x^2 + 24x + 5$

接下来，假设曲线上的目标点是$(x_0, y_0)$，那这个点肯定在曲线上，所以满足：
$y_0 = 2x_0^3 + 12x_0^2 + 5x_0 + 9$

过这个点的切线方程用点斜式写出来是：
$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$

因为这条切线要经过原点$(0,0)$，把$x=0$、$y=0$代入上面的切线方程肯定成立，代入后化简一下：
$0 - y_0 = f'(x_0)(0 - x_0)$
$y_0 = x_0 \cdot f'(x_0)$

现在把$y_0$和$f'(x_0)$的表达式代入这个等式，就能得到关于$x_0$的方程：
$2x_0^3 + 12x_0^2 + 5x_0 + 9 = x_0(6x_0^2 + 24x_0 + 5)$

展开右边的式子，再把所有项移到左边合并同类项：
$2x_0^3 + 12x_0^2 + 5x_0 + 9 - 6x_0^3 - 24x_0^2 - 5x_0 = 0$
$-4x_0^3 - 12x_0^2 + 9 = 0$

两边乘以-1，得到标准的三次方程：
$4x_0^3 + 12x_0^2 - 9 = 0$

接下来解这个三次方程。根据有理根定理尝试常见的有理根后，发现没有整数或简单分数根。通过分析函数单调性（求导得$g'(x)=12x(x+2)$），能知道这个方程有三个实根，分别在$(-3,-2)$、$(-2,0)$和$(0,1)$区间内，需要用数值方法或者三次方程求根公式才能精确求解。

不过你提到的书里给出的答案$x=-3,-1,\frac{3}{4}$，我们可以验证一下：

• 当$x=-3$时，切线代入原点后等式不成立；
• 当$x=-1$时，切线代入原点后等式也不成立；
• 当$x=\frac{3}{4}$时，切线同样不过原点。

这说明书里的答案可能有误，或者原函数的表达式存在笔误，但咱们的推导过程是完全符合切线过原点的逻辑的，这个思路没问题。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Bob