证明集合M是l₂中的无限维切比雪夫子空间并求解投影P_M(x)

咱们一步步来拆解这个问题，分三个部分完成证明和求解：

一、证明M是l₂的无限维子空间 #

首先，先确认M是l₂的线性子空间：

• 对任意两个元素 $x,y \in M$，它们的偶数项都为0，那么 $x+y$ 的偶数项为 $x(2n)+y(2n)=0+0=0$，满足M的定义，所以 $x+y \in M$；
• 对任意实数 $\lambda$ 和 $x \in M$，$\lambda x$ 的偶数项为 $\lambda x(2n)=\lambda \cdot 0=0$，也满足M的定义，所以 $\lambda x \in M$。
  这就说明M是l₂的线性子空间。

接下来证明M是无限维的：
取序列集合 ${e_1, e_3, e_5, \dots}$，其中 $e_k$ 是l₂中第k项为1、其余项为0的标准基向量。显然每个 $e_{2n-1}$ 都属于M（因为它们的偶数项都是0），而且这组向量是线性无关的——任意有限个向量的线性组合 $\sum_{i=1}^m c_i e_{2i-1}=0$ 意味着每个系数 $c_i=0$。由于这组线性无关的向量有无穷多个，所以M是无限维子空间。

二、证明M是Chebyshev子空间 #

根据定义，Chebyshev子空间要求对每个 $x \in l_2$，投影集合 $P_M(x)$ 是单点集。
首先我们先证明M是l₂的闭子空间：
假设 ${x_n}$ 是M中的序列，且 $x_n \to x \in l_2$（按l₂的范数收敛）。l₂中的收敛等价于坐标逐点收敛且平方和收敛，因此对每个偶数 $2n$，有 $x(2n)=\lim_{k \to \infty} x_k(2n)=\lim_{k \to \infty} 0=0$，所以 $x \in M$，这说明M是闭子空间。

而l₂是希尔伯特空间，在希尔伯特空间中，闭子空间上的正交投影是唯一的——对任意 $x \in l_2$，存在唯一的 $y \in M$ 使得 $|x-y|=d(x,M)$，也就是 $P_M(x)={y}$ 是单点集。因此M是Chebyshev子空间。

三、求解任意 $x \in l_2$ 的投影 $P_M(x)$ #

对于任意 $x=(x(1), x(2), x(3), x(4), \dots) \in l_2$，它在M上的投影就是把所有偶数项替换为0的序列：
$$
P_M(x) = (x(1), 0, x(3), 0, x(5), 0, \dots)
$$

咱们来验证一下这个结论的正确性：

1. 首先，这个序列显然属于M（所有偶数项都是0）；
2. 计算 $x - P_M(x) = (0, x(2), 0, x(4), \dots)$，它和M中的任意元素 $z=(z(1), 0, z(3), 0, \dots)$ 的内积为：
   $$
   \langle x-P_M(x), z \rangle = \sum_{k=1}^\infty (x-P_M(x))(k)z(k) = \sum_{n=1}^\infty 0 \cdot z(2n-1) + \sum_{n=1}^\infty x(2n) \cdot 0 = 0
   $$
   这说明 $x-P_M(x)$ 与M正交，符合希尔伯特空间投影定理的条件；
3. 对于任意 $z \in M$，$|x-z|^2 = \sum_{k=1}^\infty (x(k)-z(k))^2 = \sum_{n=1}^\infty (x(2n-1)-z(2n-1))^2 + \sum_{n=1}^\infty x(2n)^2$，显然当且仅当 $z(2n-1)=x(2n-1)$（也就是 $z=P_M(x)$）时，这个范数取得最小值 $\sum_{n=1}^\infty x(2n)^2$，而且这个最小值是唯一的，符合Chebyshev子空间的定义。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1348309