关于整函数B(z)=0的解必满足Im(z)=0的证明问询

先聊聊这个问题的背景：我们先看三角数序列 $1,3,6,10,15,...$，基于这个序列定义了这样一个整函数：
$$B(z) = 1 + z + \frac{z^2}{4} + \frac{z^3}{43} + \frac{z^4}{46} + \frac{z^5}{4{10}} +\dots$$
现在有个有意思的猜想：如果 $B(z)=0$，那么必然有 $\text{Im}(z)=0$——也就是这个函数的所有零点都落在实轴上。怎么证明这个结论呢？

我先整理一些已经观察到的关键点：

• $B(z)$ 显然是整函数，这点很容易验证。
• $|B(z)|$ 相对于 $|z|$ 的增长速度相当慢，至少比 $\exp(2+\ln(1+|4z|)^3)$ 要慢。这里提一句，根据最大模原理，正实轴方向的模值是占主导地位的。
• 因为它在复平面上的增长速度远慢于指数函数，结合魏尔斯特拉斯分解定理和阿达马分解定理，我们可以得出：这个整函数完全由它的零点所决定。

实际上，这个结论似乎对任何非凸...（原文此处内容未完成）也成立？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mick