关于实内积空间中闭凸子集Chebyshev性的证明问询

我现在需要解决这么一个问题：如果$K$是实内积空间$X$的闭凸子集，且$K$包含在$X$的一个完备子集里，那么$K$是Chebyshev集。

先明确一下相关定义：

• $P_K(x) := { y \in K \mid |x - y| = d(x, K) }$，这里$d(x,K)$指的是点$x$到集合$K$的距离
• $K$是Chebyshev集当且仅当对每个$x \in X$，$P_K(x)$都是单点集

我自己已经梳理了部分思路：实内积空间中的范数是严格凸的，严格凸的定义是：对任意不同的点$y_1, y_2 \in X$，以及任意$t \in (0, 1)$，都满足：
$$
|ty_1 + (1-t)y_2| < t|y_1| + (1-t)|y_2|.
$$

我接下来想证明$P_K(x)$只能包含一个元素，但卡在了后续的推导环节，想问问大家该怎么继续完成这个证明？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1348309